Lastige wortelvorm
- Berichten: 7.463
Lastige wortelvorm
\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}}\)
\(\)
Alle wortels zijn daarbij reëel verondersteld. Hoe bewijst men dat bovenstaande uitdrukking gelijk is aan -1/3 + i ?- Berichten: 4.536
Re: Lastige wortelvorm
e-machten (=argument) uitdrukken in coordinaten eenheidcirkel en dan de gehele expressie verder uitschrijven en optellen
- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
Die laatste stap leidt helaas niet tot het gewenste (exacte) resultaat. Ik zoek een bewijs, geen numerieke benadering.
-
- Technicus
- Berichten: 1.153
Re: Lastige wortelvorm
Als je het met de hand wilt doen, misschien achteruit werken? Breng alles onder de 3emachts wortel en uitwerken tot je (1/27)^(1/3) hebt?
- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
Dank! Ik zal vandaag bekijken of ik er met deze tips uit kom om dit nog eens zelf met de hand na te doen.
Weet iemand een goed boek over hoe je dergelijke wortelvormen (zonder hulp van een computerprogramma) vereenvoudigt?
Weet iemand een goed boek over hoe je dergelijke wortelvormen (zonder hulp van een computerprogramma) vereenvoudigt?
- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}} \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (1 + i \sqrt{3}) + \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - 1 + i \sqrt{3}) \)
\(\)
\(\)
\( \mathrm{A} + \mathrm{B} \, i \,\,\,\,\,\, \mbox{met:} \)
\(\)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, - \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, - \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, + \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, + \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
En nu?- Berichten: 4.536
Re: Lastige wortelvorm
'Show Steps' in wolfram Mathematica en het wonder voltrekt zich
- Berichten: 4.536
Re: Lastige wortelvorm
Mathematica is een computerprogramma gericht op de wiskunde. Het programma is door Stephen Wolfram ontworpen en door Wolfram Research in Illinois ontwikkeld. Het wordt binnen de informatica en diverse bètawetenschappen gebruikt.
https://www.wolfram.com/mathematica/
https://www.wolfram.com/mathematica/
- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
Ziet er indrukwekkend uit! Ben benieuwd of die de beruchte casus irreducibilis ( ) ook aankan?
\(\)
\( x^3 - 3x +1 = 0 \)
\(\)
Wat geeft je programma daar voor stap voor stap oplossingen voor?- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
Dank! Dus met recht een casus irreducibilis, want hoewel de vergelijking drie reële oplossingen heeft krijgt zelfs Wolfram Mathematica die complexe wortels in de uitdrukkingen voor de oplossingen er niet uit gewerkt.
- Berichten: 4.536
Re: Lastige wortelvorm
Misschien kan Manoj Kumar Sahoo hierin wat meer duidelijkheid geven
- Berichten: 7.463
Re: Lastige wortelvorm
Er bestaat inderdaad een goniometrisch alternatief: https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irr ... quantities