Wetenschapsforum


https://www.wetenschapsforum.nl/

Lastige wortelvorm

https://www.wetenschapsforum.nl/viewtopic.php?t=210175

Pagina 1 van 1

Lastige wortelvorm

Geplaatst: di 31 mar 2020, 21:29
door Professor Puntje
\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}}\)
\(\)
Alle wortels zijn daarbij reëel verondersteld. Hoe bewijst men dat bovenstaande uitdrukking gelijk is aan -1/3 + i ?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: di 31 mar 2020, 22:54
door ukster
e-machten (=argument) uitdrukken in coordinaten eenheidcirkel en dan de gehele expressie verder uitschrijven en optellen
uitschrijven.png
uitschrijven.png (6.54 KiB) 3826 keer bekeken

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: di 31 mar 2020, 23:03
door Professor Puntje
Die laatste stap leidt helaas niet tot het gewenste (exacte) resultaat. Ik zoek een bewijs, geen numerieke benadering.

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: di 31 mar 2020, 23:16
door ukster
Vergeet de numerieke benadering :D
moeilijke wortels.png
moeilijke wortels.png (10.22 KiB) 3812 keer bekeken

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: di 31 mar 2020, 23:23
door CoenCo
Als je het met de hand wilt doen, misschien achteruit werken? Breng alles onder de 3emachts wortel en uitwerken tot je (1/27)^(1/3) hebt?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 10:27
door Professor Puntje
Dank! Ik zal vandaag bekijken of ik er met deze tips uit kom om dit nog eens zelf met de hand na te doen.

Weet iemand een goed boek over hoe je dergelijke wortelvormen (zonder hulp van een computerprogramma) vereenvoudigt?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 14:19
door Professor Puntje
\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}} \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (1 + i \sqrt{3}) + \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - 1 + i \sqrt{3}) \)
\(\)
\(\)
\( \mathrm{A} + \mathrm{B} \, i \,\,\,\,\,\, \mbox{met:} \)
\(\)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, - \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, - \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, + \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, + \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
En nu?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 19:33
door ukster
'Show Steps' in wolfram Mathematica en het wonder voltrekt zich :)
Symplified expression.pdf
(88.59 KiB) 154 keer gedownload

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 19:58
door Professor Puntje
Heel mooi!

Wat is dat Wolfram Mathematica voor iets?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 20:18
door ukster
Mathematica is een computerprogramma gericht op de wiskunde. Het programma is door Stephen Wolfram ontworpen en door Wolfram Research in Illinois ontwikkeld. Het wordt binnen de informatica en diverse bètawetenschappen gebruikt.
https://www.wolfram.com/mathematica/

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 21:03
door Professor Puntje
Ziet er indrukwekkend uit! Ben benieuwd of die de beruchte casus irreducibilis ( :twisted: ) ook aankan?
\(\)
\( x^3 - 3x +1 = 0 \)
\(\)
Wat geeft je programma daar voor stap voor stap oplossingen voor?

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 21:35
door ukster
casus irreducibilis.pdf
(98.92 KiB) 165 keer gedownload
numerieke waarden
numerieke waarden.pdf
(97.11 KiB) 148 keer gedownload

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 21:44
door Professor Puntje
Dank! Dus met recht een casus irreducibilis, want hoewel de vergelijking drie reële oplossingen heeft krijgt zelfs Wolfram Mathematica die complexe wortels in de uitdrukkingen voor de oplossingen er niet uit gewerkt.

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 21:58
door ukster
Misschien kan Manoj Kumar Sahoo hierin wat meer duidelijkheid geven :D

Re: Lastige wortelvorm

Geplaatst: wo 01 apr 2020, 23:36
door Professor Puntje
Er bestaat inderdaad een goniometrisch alternatief: https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irr ... quantities
Alle tijden zijn UTC+02:00
Pagina 1 van 1

Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited

Nederlandse vertaling door phpBB.nl.