Lastige wortelvorm

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Lastige wortelvorm

\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}}\)
\(\)
Alle wortels zijn daarbij reëel verondersteld. Hoe bewijst men dat bovenstaande uitdrukking gelijk is aan -1/3 + i ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

e-machten (=argument) uitdrukken in coordinaten eenheidcirkel en dan de gehele expressie verder uitschrijven en optellen
uitschrijven.png
uitschrijven.png (6.54 KiB) 1595 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Die laatste stap leidt helaas niet tot het gewenste (exacte) resultaat. Ik zoek een bewijs, geen numerieke benadering.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

Vergeet de numerieke benadering :D
moeilijke wortels.png
moeilijke wortels.png (10.22 KiB) 1581 keer bekeken

Berichten: 598

Re: Lastige wortelvorm

Als je het met de hand wilt doen, misschien achteruit werken? Breng alles onder de 3emachts wortel en uitwerken tot je (1/27)^(1/3) hebt?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Dank! Ik zal vandaag bekijken of ik er met deze tips uit kom om dit nog eens zelf met de hand na te doen.

Weet iemand een goed boek over hoe je dergelijke wortelvormen (zonder hulp van een computerprogramma) vereenvoudigt?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

\( \sqrt[3]{ - \left \{ \frac{10}{27} - \sqrt{ \frac{4}{27} } \right \} } \cdot \, e^{i \frac{\pi}{3} } + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, e^{i \frac{2 \pi}{3}} \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4}{27} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \sqrt{ \frac{4 \cdot 3}{81} } } \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{2}{9} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \sqrt[3]{ \frac{10}{27} + \frac{6}{27} \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) + \frac{1}{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}) \)
\(\)
\( \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, (1 + i \sqrt{3}) + \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \cdot \, ( - 1 + i \sqrt{3}) \)
\(\)
\(\)
\( \mathrm{A} + \mathrm{B} \, i \,\,\,\,\,\, \mbox{met:} \)
\(\)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, - \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{A} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, - \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\,\, + \,\,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \)
\( \mathrm{B} \,\, = \,\, \frac{1}{6} \, \sqrt{3} \, \left ( \sqrt[3]{ - 10 + 6 \sqrt{3}} \,\, + \,\, \sqrt[3]{ 10 + 6 \sqrt{3}} \right ) \)
\(\)
En nu?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

'Show Steps' in wolfram Mathematica en het wonder voltrekt zich :)
Symplified expression.pdf
(88.59 KiB) 47 keer gedownload


Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Heel mooi!

Wat is dat Wolfram Mathematica voor iets?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

Mathematica is een computerprogramma gericht op de wiskunde. Het programma is door Stephen Wolfram ontworpen en door Wolfram Research in Illinois ontwikkeld. Het wordt binnen de informatica en diverse bètawetenschappen gebruikt.
https://www.wolfram.com/mathematica/

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Ziet er indrukwekkend uit! Ben benieuwd of die de beruchte casus irreducibilis ( :twisted: ) ook aankan?
\(\)
\( x^3 - 3x +1 = 0 \)
\(\)
Wat geeft je programma daar voor stap voor stap oplossingen voor?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

casus irreducibilis.pdf
(98.92 KiB) 50 keer gedownload
numerieke waarden
numerieke waarden.pdf
(97.11 KiB) 42 keer gedownload

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Dank! Dus met recht een casus irreducibilis, want hoewel de vergelijking drie reële oplossingen heeft krijgt zelfs Wolfram Mathematica die complexe wortels in de uitdrukkingen voor de oplossingen er niet uit gewerkt.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.372

Re: Lastige wortelvorm

Misschien kan Manoj Kumar Sahoo hierin wat meer duidelijkheid geven :D

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Lastige wortelvorm

Er bestaat inderdaad een goniometrisch alternatief: https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irr ... quantities

Reageer