Ondergrens gezocht

[Professor Puntje]

Laat:

\(\)

\( f(\alpha, \beta, n, m) = | \frac{\alpha + n}{\beta +m} \, - \, \frac{\alpha}{\beta} | \)

\(\)

Is er voor 1 ≤ α,β < 2, n,m ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} & n ≠ m een ondergrens groter dan nul voor f(α,β,n,m) ? En zo ja - weet er hier iemand zo'n ondergrens met bijpassend bewijs.

[RedCat]

m=0:

\(f(\alpha,\beta,n,m)=\left| \frac{\alpha+n}{\beta} - \frac{\alpha}{\beta} \right| = \frac{n}{\beta} > 0\)

[Professor Puntje]

Ja - maar mijn bedoeling is dat de ondergrens voor alle toegestane waarden van α, β, n en m op moet gaan. Sorry als dat onduidelijk was.

[RedCat]

\(\frac{\alpha+n}{\beta + m} - \frac{\alpha}{\beta} = 0\)

\(\frac{\alpha+n}{\beta + m} = \frac{\alpha}{\beta}\)

kruislings vermenigvuldigen:

\(\alpha \beta + \beta n = \alpha \beta + \alpha m\)

\(n = \frac{\alpha}{\beta} m\)

En dit heeft meerdere oplossingen binnen het domein, bijvoorbeeld:

\(\alpha = 1.5\)

\(\beta = 1\)

\(m=2\)

\(n=3\)

[OOOVincentOOO]

Volgens mij:

\(\frac{\alpha+n}{\beta+m} > \frac{\alpha}{\beta} \wedge \frac{\alpha+n}{\beta+m} < \frac{\alpha}{\beta}\)

Het dichtste bij 0: n=0, m=1
\(\frac{\alpha}{\beta+1} > \frac{\alpha}{\beta}\)
Heeft geen oplossing links is altijd kleiner dan rechts.

Het dichtste bij 0: n=0, m=1
\(\frac{\alpha}{\beta+1}< \frac{\alpha}{\beta}\)

Het dichste bij nul:
\(n=0, m=1, \alpha=1, \beta=1.999999...\)

Maak ik nu stomme fouten? Ik heb weinig routine in dit soort sommetjes.

[Professor Puntje]

Hm! - dat zijn niet de resultaten waarop ik gehoopt had, maar wel belangrijk om te weten. Dank!

[tempelier]

Als er een ondergrens is dan zijn er oneindig veel ondergrenzen.

Waarschijnlijk bedoel je of er een infimum is?

Hier zit een vervelend onopgelost probleem aan, maar dat is off topic.

[Professor Puntje]

Ik had gehoopt dat er een ondergrens groter dan nul zou zijn, want zo'n ondergrens zou ik dan in mijn topic in Theorieontwikkeling kunnen gebruiken. Maar helaas blijkt er geen positieve ondergrens te zijn. Dus ik kan hier nu verder niets me.

Ik heb de kern van het probleem over verdichtingspunten waar ik in Theorieontwikkeling nu even op vastloop zonder onnodig jargon ook in het volgende topic beschreven: viewtopic.php?f=72&t=210693

Het zou fijn zijn als iemand daar een antwoord op weet. Dat lost dan voor mij het huidige probleem ook op.