inspringende hoeken

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 503

inspringende hoeken

Hoeveel inspringende hoeken zijn er maximaal mogelijk in een n-hoek?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.003

Re: inspringende hoeken

Ik denk dat dat afhangt of n even of oneven is.
Maar een bewijs heb ik nog niet.


PS.
Ik ga uit van een soort zaagtand en verbindt dan de einden.

Berichten: 364

Re: inspringende hoeken

Hint met een 7-hoek:
Afbeelding

Berichten: 503

Re: inspringende hoeken

@Tempelier
Ik dacht, als n even is, dat n/2 inspringende hoeken mogelijk zijn.
Maar RedCat doet me vermoeden, dat het altijd n-1 is.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.003

Re: inspringende hoeken

Die tekening heeft drie scherpen hoeken. dat duidt op n-3
Zou slechts bewezen moeten worden dat n-2 niet mogelijk is:

De som van de hoeken is (n-2)*180 en dan uit het ongerijmde.

Berichten: 2

Re: inspringende hoeken

Bij een driehoek heb je geen inspringende hoek. Dat kan ook niet. Een inspringende hoek > 180⁰
Voor een 4-hoek geldt dus dat er maximaal 1 inspringende hoek kan zijn. (2 geeft nl. meer dan 360⁰)
Voor een n-hoek is dan ook vrij eenvoudig te zien dat er maximaal n-3 inspringende hoeken kunnen zijn.

De volgende stap: bestaat hij? Dit is ook niet erg ingewikkeld.
Ik heb maar 1 voorbeeld nodig, dus:
Stel een veelhoek Vn met hoeken A,B,C en Pt waarbij t=1 tm n-3.
Stel som (∠A,∠B,∠C)=170⁰ en alle ∠P zijn even groot. (ik hoef maar één voorbeeld).
Kies ∠P=180+h met als voorwaarde dat h>0
Dan geldt: Som(Vn)= (n-2)*180 =som(∠A,∠B,∠C) +(n-3)*∠P = som(∠A,∠B,∠C) + (n-3)*(180+h) dus.
180 + (n-3)*180 = 170 +(n-3)*180 + (n-3)*h dus
10 = (n-3)*h dus h=10/(n-3) dit is >0 maw de veelhoek bestaat.

Stel je een 3-hoek voor (ABC) met een klein knikje naar binnen in lijnstuk BC. (P). Nu heb je een 4-hoek ABPC. enz.

Reageer