cubus

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 701

cubus

Stel in een cubus van 12/12/12 cm worden aan de zijkanten en de bovenkant gaten geboord met een straal van 1 cm. Om de inhoud van het resterend volume te berekenen heb ik van het totaal volume het volgende afgetrokken :
- volume intersectie
- volume van de 6 deelcylinders met een volledige inhoud zijnde tot aan de buitenrand van de intersectie

Zou mijn idee al te eenvoudig zijn ?

ps de formule voor intersectie hoeft niet besproken te worden en de tekening met het rode vakje is een heel vereenvoudigde weergave van boven bekeken om mijn idee een beetje duidelijk te maken
Bijlagen
DSCN0006.JPG

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.777

Re: cubus

Geachte Rik Speybrouck,
Het volume van de kubus is volgens mij.
12 cm . 12 cm .12 cm=288 kubike cm.
anders gezegd: 288 cm tot de derde macht.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.777

Re: cubus

Verder geachte Rik
Als we eerst in de kubus een rond gat boren met straal =1 cm en vertikaal door de kubus, en daarna boren we weer een gat horizontaal door de kubus dan zal volgens mij de doorsnede van beide ronde gaten een bol zijn die je maar 1 keer mag rekenen.

Berichten: 213

Re: cubus


Berichten: 213

Re: cubus

@Rik Speybrouck:
- de intersectie van 3 boorgaten zijn de punten die binnen alle 3 de cylinders vallen.
- de 6 deelcylinders tot aan de buitenrand worden geraakt door 1 boorgat.
Maar er zijn ook nog punten binnen de 2x2x2 kern die geraakt worden door precies 2 boorgaten.

Als ik kijk wat er van de 2x2x2 kubus overblijft in het eerste octant (x, y en z positief), dan zijn dat voor verschillende z de groene gebieden in dit plaatje (de grenzen van de 3 boringen voorgesteld door een rode, groene en blauwe kleur):
Afbeelding

Voor z=0 tot √½ is het groene oppervlak een vierkant:
\(A(z) = (1-\sqrt{1-z^2})^2\)
en wordt het volume
\(V_1 = \displaystyle \int_0^{\sqrt{1/2}}\left(1-\sqrt{1-z^2}\right)^2\; dz\)
\(= \left[\left(2-z^2/3 - \sqrt{1-z^2}\right)\cdot z - asin(z) \right]_0^{\sqrt{1/2}}\)
\(=\frac{11}{12}\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\pi\)

Voor z=√½ tot 1 is dit groene oppervlak samengesteld uit het blauwe deel en de gele rechthoek in deze figuur:
Afbeelding

Het oppervlak van het blauwe deel is
\(A_1 = \displaystyle \int_{x=x_1}^{x^2} 1-\sqrt{1-x^2} \; dx\)
en het gele deel:
\(A_2 = (1-x_2)(1-x_1)\)

Nu weer net als hierboven x afhankelijk van z definieren en de integraal daarover nemen van √½ tot 1 levert me naast een forse stapel kladpapier:
\(V_2 = \frac{1}{12}\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\pi\)

Het totale volume wat overblijft van 1/8 van de centrale 2x2x2 kubus is dus
\(V = V_1 + V_2 = 1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi\)

In de centrale 2x2x2 kubus is dan 8 - 8*V weggeboord.
Tenslotte hier de 6 cylinders bij optellen, en je hebt het totale weggeboorde volume.


PS: ik zie onderweg nergens een fout, maar controleer de berekening s.v.p. zelf ook nog even.

Berichten: 213

Re: cubus

Code: Selecteer alles

c1=c2=0;
for(x=0.0005; x<1; x+=0.001)
  for(y=0.0005; y<1; y+=0.001)
    for(z=0.0005; z<1; z+=0.001)
      if( (x^2+y^2<=1) OR (x^2+z^2<=1) OR (y^2+z^2<=1) ) c1 = c1 + 1;
      else c2 = c2 + 1;
Bovenstaande (niet geoptimaliseerde) code stelt gerust: als alle 10^9 punten geteld zijn geeft dit:
c1 = 941986121
c2 = 58013879
wat het overgebleven volume benadert als 0.058013879

De exacte waarde zou zijn:
\(V = 1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi = 0.0580190721807501199547...\)

Het totale weggeboorde volume (inclusief de 6 * (5*pi) buitenste cylinders) is daarmee
\(8 - 8V + 6\cdot5\pi = 36\pi - 8\sqrt{2} = 101.7836270302...\)
en blijft over:
\(12^3 - 36\pi + 8\sqrt{2} = 1626.2163729697... \)
(iets minder dan jouw eindantwoord).

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: cubus

RedCat schreef: zo 27 sep 2020, 11:34 @Rik Speybrouck:
- de intersectie van 3 boorgaten zijn de punten die binnen alle 3 de cylinders vallen.
- de 6 deelcylinders tot aan de buitenrand worden geraakt door 1 boorgat.
Maar er zijn ook nog punten binnen de 2x2x2 kern die geraakt worden door precies 2 boorgaten.

Als ik kijk wat er van de 2x2x2 kubus overblijft in het eerste octant (x, y en z positief), dan zijn dat voor verschillende z de groene gebieden in dit plaatje (de grenzen van de 3 boringen voorgesteld door een rode, groene en blauwe kleur):
Afbeelding

Voor z=0 tot √½ is het groene oppervlak een vierkant:
\(A(z) = (1-\sqrt{1-z^2})^2\)
en wordt het volume
\(V_1 = \displaystyle \int_0^{\sqrt{1/2}}\left(1-\sqrt{1-z^2}\right)^2\; dz\)
\(= \left[\left(2-z^2/3 - \sqrt{1-z^2}\right)\cdot z - asin(z) \right]_0^{\sqrt{1/2}}\)
\(=\frac{11}{12}\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\pi\)

Voor z=√½ tot 1 is dit groene oppervlak samengesteld uit het blauwe deel en de gele rechthoek in deze figuur:
Afbeelding

Het oppervlak van het blauwe deel is
\(A_1 = \displaystyle \int_{x=x_1}^{x^2} 1-\sqrt{1-x^2} \; dx\)
en het gele deel:
\(A_2 = (1-x_2)(1-x_1)\)
het is misschien een domme vraag van me maar vanwaar komt de grenswaarde van de integraal wortel (1/2
)

Nu weer net als hierboven x afhankelijk van z definieren en de integraal daarover nemen van √½ tot 1 levert me naast een forse stapel kladpapier:
\(V_2 = \frac{1}{12}\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\pi\)

Het totale volume wat overblijft van 1/8 van de centrale 2x2x2 kubus is dus
\(V = V_1 + V_2 = 1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi\)

In de centrale 2x2x2 kubus is dan 8 - 8*V weggeboord.
Tenslotte hier de 6 cylinders bij optellen, en je hebt het totale weggeboorde volume.


PS: ik zie onderweg nergens een fout, maar controleer de berekening s.v.p. zelf ook nog even.

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: cubus

RedCat schreef: za 26 sep 2020, 19:10 Kom je hiermee verder: https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid ?
het is miscchien een domme vraag van me maar van waar komt die grenswaarde van de integraal wortel(1/2)

Berichten: 213

Re: cubus

Afbeelding
Hier een volledige inkleuring van het eerdere plaatje.
We kijken steeds vanaf de positieve z-as op een doorsnede van de 2x2x2 kubus, parallel aan het x-y-vlak, voor de 6 gegeven waarden van z.
De boring via de z-as is met blauwe grenzen aangegeven,
de boring via de x-as met groene grenzen,
de boring via de y-as met rode grenzen.
Vlakkleuring:
blauw = punten alleen getroffen door de blauwe boor
groen = punten alleen getroffen door de groene boor
rood = punten alleen getroffen door de rode boor
blauwgroen = punten zowel door de blauwe als groene boor getroffen
paars = punten zowel door de blauwe als rode boor getroffen
bruin = punten zowel door de rode als groene boor getroffen
zwart = punten door alle 3 de boren getroffen
geel = punten door geen enkele boor getroffen (die blijven dus gespaard in de kubus).

Noem het punt S het snijpunt van de 3 boor-randen:
Afbeelding
In het x-y-vlak ligt S zodanig dat Sx = x-coordinaat = Sy = de y-coordinaat,
met afstand tot de (centrale) z-as = straal van de blauwe cirkel = r = 1.
Daarom is
\(S_x = S_y = \sqrt{1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = 0.7071...\)
Wegens symmetrie van de kubus geldt dat ook voor de z-waarde (beschouw hetzelfde plaatje, nu gezien vanuit de positieve x-as op het y-z-vlak), zodat we hebben:
\(S_x = S_y = S_z = \sqrt{1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = 0.7071...\)

Gaan we vervolgens vanuit S naar beneden (= verkleinen we z), dan bewegen de groene en rode boorgrenzen zich naar buiten, en blijft het gele gebied hierboven begrensd door de groene en rode boring, dus een vierkant. Dit levert volume V1 (de integraal van z van 0 tot wortel(1/2)) uit mijn eerdere post.
Gaan we vanuit S naar boven (= vergroten we z van wortel(1/2) tot 1), dan bewegen de groene en rode boorgrenzen zich naar binnen, en blijft het gele gebied niet alleen begrensd door de groene en rode boring, maar zal de blauwe boring ook een (cirkelvormig) deel van de resterende punten verwijderen. Dit levert volume V2.


Wel erg veel tekst, maar hopelijk verduidelijkt dit een en ander.

Reageer