Driehoeken

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 384

Driehoeken

Ik heb meer dan een halve eeuw geleden vijf congruentiegevallen van driehoeken leren kennen
(bijvoorbeeld hoek-zijde-hoek = HZH, ZHZ en ZZZ)
maar de volgende zat er niet bij.

Als twee driehoeken dezelfde omtrek en dezelfde oppervlakte hebben,
zijn ze dan noodzakelijk congruent?
Zo nee, kent iemand een voorbeeld? Dan is de vermeende stelling direct ontkracht.

Dit is uiteraard geen huiswerk voor school.

Berichten: 212

Re: Driehoeken

Driehoeken (a=17, b=25, c=28) en (a=20, b=21, c=29), voor beide geldt:
- omtrek = 70
- oppervlak = 210
(oppervlakte berekend met formule van Heron, zie bv.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoek_ ... ppervlakte)

Berichten: 754

Re: Driehoeken

Stelling/poging tot bewijs:
Men neme een gelijkbenige driehoek met zijde = 4 en tophoek van 60, deze is nu toevallig dus ook gelijkbenig.
Deze driehoek heeft een oppervlakte A > 0

Neem de limiet van het vergroten van de tophoek naar 180graden, waarbij de zijden worden aangepast zodat de omtrek klopt. De driehoek heeft nu zijden 3 3 6 en de oppervlakte = 0

Neem ook de limiet van het verkleinen van de tophoek naar 0 graden. Dan zijn de zijden 6 6 0 en de oppervlakte = 0

Beide verlopen tophoek=(60..0) en (60..180) bevatten geen discontinuïteiten. Dus voor elke oppervlakte bestaat tenminste 1 hoek.
Dus voor elke tophoek alpha > 60 bestaat er ten minste één tophoek beta < 60 die de zelfde omtrek en oppervlakte heeft.

Berichten: 212

Re: Driehoeken

@CoenCo:
Mooi en elegant bewijs!

Een (overbodige) aanvulling ter illustratie:
Voor het oppervlak Opp(x) van een gelijkbenige driehoek met basis x en omtrek 12 kom ik uit op:
\(\text{Opp(x)} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = \frac{1}{2}x\sqrt{36-6x}\)
met een maximum bij de gelijkzijdige driehoek (x=4; Opp(4)=2√(12)=4√3),
en 2 verschillende snijpunten met de horizontale lijn Opp=c voor c tussen 0 en 4√3

In een plaatje:

wtf_driehoekopp12.png

Gebruikersavatar
Berichten: 5.905

Re: Driehoeken

Ik had zelf nog het volgende bedacht (maar weet niet of dat helemaal in de haak is):

Drie zijden bepalen een driehoek, als de oppervlakte en de omtrek ook een driehoek zouden bepalen dan had je via de bepaalde driehoek een continue afbeelding van een stukje R3 naar een stukje R2. En dat laatste kan (dacht ik) niet.

Is dit juist?

Berichten: 212

Re: Driehoeken

Professor Puntje schreef: En dat laatste kan (dacht ik) niet.
Is dit juist?
Lijkt me ook niet kunnen.
Een 2 dimensionaal continu paar kan geen 3 dimensinale continue ruimte vastleggen.
Hier zou dat een (omtrek, oppervlak) paar = (p, A) paar zijn dat 3 zijden vastlegt = een (a, b, c) drietal.
De driehoekstructuur legt echter wel beperkingen op: zou die er niet zijn, dan zouden we 1 volledig vrije dimensie in R³ hebben.
Ondanks die beperkingen zien we hier per (p, A) paar toch verschillende (a, b, c) mogelijkheden.

Dan nog wat voor het curiositeitenkabinet:
Enkele geheeltallige Heron-driehoeken met dezelfde omtrek p en hetzelfde oppervlak A:

Code: Selecteer alles

p-A 2-ling: p = 70, A = 210:
(17, 25, 28)
(20, 21, 29)

p-A 3-ling: p = 98, A = 420:
(24, 37, 37)
(25, 34, 39)
(29, 29, 40)

p-A 4-ling: p = 448, A = 6720:
(74, 182, 192)
(84, 164, 200)
(96, 149, 203)
(104, 140, 204)

p-A 5-ling: p = 1170, A = 49140:
(221, 445, 504)
(225, 438, 507)
(261, 389, 520)
(273, 375, 522)
(312, 333, 525)

p-A 6-ling: p = 2340, A = 196560:
(442, 890, 1008)
(450, 876, 1014)
(522, 778, 1040)
(533, 765, 1042)
(546, 750, 1044)
(624, 666, 1050)

p-A 7-ling: p = 11700, A = 4914000:
(2100, 4758, 4842)
(2210, 4450, 5040)
(2250, 4380, 5070)
(2610, 3890, 5200)
(2665, 3825, 5210)
(2730, 3750, 5220)
(3120, 3330, 5250)

p-A 8-ling: p = 84630, A = 91400400:
(4650, 39585, 40395)
(4875, 39060, 40695)
(7323, 35867, 41440)
(8619, 34440, 41571)
(9672, 33315, 41643)
(13020, 29835, 41775)
(16275, 26520, 41835)
(17745, 25035, 41850)

p-A 9-ling: p = 94668, A = 348107760:
(19020, 37674, 37974)
(19449, 35949, 39270)
(19734, 35322, 39612)
(20604, 33814, 40250)
(22374, 31395, 40899)
(22998, 30636, 41034)
(24564, 28854, 41250)
(24978, 28406, 41284)
(25806, 27534, 41328)

p-A 10-ling: p = 428736, A = 4765400640:
(51348, 185640, 191748)
(51918, 183744, 193074)
(54663, 177888, 196185)
(62268, 166716, 199752)
(65598, 162498, 200640)
(71412, 155556, 201768)
(88008, 137228, 203500)
(91872, 133143, 203721)
(101268, 123396, 204072)
(102828, 121800, 204108)

p-A 11-ling: p = 662676, A = 17057280240:
(133140, 263718, 265818)
(136143, 251643, 274890)
(138138, 247254, 277284)
(144060, 236958, 281658)
(144228, 236698, 281750)
(156618, 219765, 286293)
(158466, 217488, 286722)
(160986, 214452, 287238)
(171948, 201978, 288750)
(174846, 198842, 288988)
(180642, 192738, 289296)

p-A 12-ling: p = 1325352, A = 68229120960:
(266280, 527436, 531636)
(266511, 524436, 534405)
(272286, 503286, 549780)
(276276, 494508, 554568)
(288120, 473916, 563316)
(288456, 473396, 563500)
(313236, 439530, 572586)
(316932, 434976, 573444)
(321972, 428904, 574476)
(343896, 403956, 577500)
(349692, 397684, 577976)
(361284, 385476, 578592)

Gebruikersavatar
Berichten: 5.905

Re: Driehoeken

RedCat schreef: za 10 okt 2020, 10:57 Dan nog wat voor het curiositeitenkabinet:
Enkele geheeltallige Heron-driehoeken met dezelfde omtrek p en hetzelfde oppervlak A:

Code: Selecteer alles

p-A 2-ling: p = 70, A = 210:
(17, 25, 28)
(20, 21, 29)

p-A 3-ling: p = 98, A = 420:
(24, 37, 37)
(25, 34, 39)
(29, 29, 40)

p-A 4-ling: p = 448, A = 6720:
(74, 182, 192)
(84, 164, 200)
(96, 149, 203)
(104, 140, 204)

p-A 5-ling: p = 1170, A = 49140:
(221, 445, 504)
(225, 438, 507)
(261, 389, 520)
(273, 375, 522)
(312, 333, 525)

p-A 6-ling: p = 2340, A = 196560:
(442, 890, 1008)
(450, 876, 1014)
(522, 778, 1040)
(533, 765, 1042)
(546, 750, 1044)
(624, 666, 1050)

p-A 7-ling: p = 11700, A = 4914000:
(2100, 4758, 4842)
(2210, 4450, 5040)
(2250, 4380, 5070)
(2610, 3890, 5200)
(2665, 3825, 5210)
(2730, 3750, 5220)
(3120, 3330, 5250)

p-A 8-ling: p = 84630, A = 91400400:
(4650, 39585, 40395)
(4875, 39060, 40695)
(7323, 35867, 41440)
(8619, 34440, 41571)
(9672, 33315, 41643)
(13020, 29835, 41775)
(16275, 26520, 41835)
(17745, 25035, 41850)

p-A 9-ling: p = 94668, A = 348107760:
(19020, 37674, 37974)
(19449, 35949, 39270)
(19734, 35322, 39612)
(20604, 33814, 40250)
(22374, 31395, 40899)
(22998, 30636, 41034)
(24564, 28854, 41250)
(24978, 28406, 41284)
(25806, 27534, 41328)

p-A 10-ling: p = 428736, A = 4765400640:
(51348, 185640, 191748)
(51918, 183744, 193074)
(54663, 177888, 196185)
(62268, 166716, 199752)
(65598, 162498, 200640)
(71412, 155556, 201768)
(88008, 137228, 203500)
(91872, 133143, 203721)
(101268, 123396, 204072)
(102828, 121800, 204108)

p-A 11-ling: p = 662676, A = 17057280240:
(133140, 263718, 265818)
(136143, 251643, 274890)
(138138, 247254, 277284)
(144060, 236958, 281658)
(144228, 236698, 281750)
(156618, 219765, 286293)
(158466, 217488, 286722)
(160986, 214452, 287238)
(171948, 201978, 288750)
(174846, 198842, 288988)
(180642, 192738, 289296)

p-A 12-ling: p = 1325352, A = 68229120960:
(266280, 527436, 531636)
(266511, 524436, 534405)
(272286, 503286, 549780)
(276276, 494508, 554568)
(288120, 473916, 563316)
(288456, 473396, 563500)
(313236, 439530, 572586)
(316932, 434976, 573444)
(321972, 428904, 574476)
(343896, 403956, 577500)
(349692, 397684, 577976)
(361284, 385476, 578592)
Dat lijkt mij nu typisch iets voor OOOVincentOOO om dat verder uit te werken en daar een patroon in te vinden. ;-)

Gebruikersavatar
Berichten: 573

Re: Driehoeken

Deze heb ik afgelopen jaar nog gekeken van numberphile. Sluit een beetje aan.

Er bestaan maar 5 driehoeken met gehele getallen zijden met gelijk omtrek en oppervlakte.

Ze kunnen niet gelijk vormig zijn het oppervlakte neemt namelijk kwadratisch toe t.o.v. de omtrek. Betere uitleg op numberphile.

https://en.wikipedia.org/wiki/Heronian_ ... _triangles

5,12,13
6,8,10
9,10,17
7,15,20
6,25,29


Berichten: 212

Re: Driehoeken

Dank je OOOVincentOOO.
Leuk dat de p-A-identieke tweeling {(17, 25, 28) , (20, 21, 29)} hierin ook optrad (van 13:42 tot 14:25).
Na Catwoman de beste superhero movie ooit.
RedCat.

Gebruikersavatar
Berichten: 573

Re: Driehoeken

Stomme vraag misschien:
Betekend het dat er ook maar 5 driehoeken zijn met gelijke omtrek en oppervlakte met rationele zijden?

Gebruikersavatar
Berichten: 573

Re: Driehoeken

Mijn vraag was een beetje onduidelijk, ik probeerde dit te formuleren:

"Bestaan er driehoeken met rationele zijdes waarbij omtrek en oppervlakte gelijk zijn?"

Ik heb een antwoord gevonden. Na wat zoekwerk (ook vermeld op Wikipedia):
Markowitz, L. (1981), "Area = Perimeter", The Mathematics Teacher, 74 (3): 222–3

Het artikel is twee pagina's en erg leuk. En is online te lezen (© na aanmelding op: https://www.jstor.org/stable/27962397). Indien geinteresseerd stuur mij een PB voor meer informatie.

Het artikel gaat als volgt te werk.

1) Neem een driehoek met rechte hoek.
2) Omtrek: \(\frac{1}{2}ab=a+b+c \)
3) \(c^2=a^2+b^2\)
4) Oplossen c uit 2) en substitutie 3): \((a-4)(b-4)=8\)
5) Uit 4) volgen de twee integer driehoeken: \((6,8,10)\) en \((5,12,13)\)
6) Herschrijf 4): \(b=\frac{-8+4a}{a-4}\)
7) Als \(a>4\): dan is \(b\) postief rationeel.
8) Als \(0<a<4\): dan is \(b\) postief rationeel.
9) Als \(-8+4a<0\) en uit: 2), 3), 4) en 5) dus dan moet dus: \(a<2 \land a>4\).

Er bestaan dan oneindig veel rechte driehoeken met rationele zijden waar omtrek en oppervlakte gelijk zijn. Dit is een beetje samengevat wat hij beschrijft. Hij geeft ook een aanzet tot driehoeken zonder rechte hoeken. Dus stuur mij een PB indien je meer wil weten hoe Markowitz het doet ©. Erg leuk artikel!

Berichten: 384

Re: Driehoeken

omtrek met oppervlakte vergelijken is net zo raar
als het vergelijken van bijvoorbeeld snelheid en luchtdruk.
Ze hebben verschillende eenheden en zijn van verschillende dimensie.

Berichten: 212

Re: Driehoeken

In de wiskunde werken we met getallen zonder eenheid.
\(x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 \in \mathbb{R}\)
Een vierkant met zijde x heeft omtrek 4x en oppervlak x², allemaal reële getallen.
Hierdoor kunnen we bijvoorbeeld oplossen voor welke vierkanten geldt dat de omtrek gelijk is aan het oppervlak, namelijk via: 4x = x².

Berichten: 384

Re: Driehoeken

Ik snap wat je zegt, RedCat, maar vind het concept niettemin raar.
Komt zeker, omdat ik natuurkundige ben.
Ik vind het nog steeds bizar om bijvoorbeeld te zeggen dat een bepaalde lengte groter is dan één of andere oppervlakte of volume.
Vroeger had men het het over vergelijken van appels en peren. Dat hoor je niet zo vaak meer.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.905

Re: Driehoeken

Appels en peren kunnen ook vergeleken worden:

2 appels = 2 stuks fruit
3 peren = 3 stuks fruit
3 stuks fruit (3 peren) > 2 stuks fruit (2 appels).

Het hangt er maar net vanaf welke eenheden je al dan niet gebruikt.

Reageer