Vijfhoek

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 701

Vijfhoek

In een vijfhoek ABCDE worden de hoekpunten AD verbonden. In de bekomen driehoek DEA wordt de ingeschreven cirkel met middelpunt F en straal RF getekend. Via de bisectrice van hoek EDA en het middelpunt f wordt driehoek EFD getekend met de ingeschreven cirkel met middelpunt I en straal RI. De bisectrice van hoek EFD wordt doorgetrokken naar punt G. In de driehoek EGF wordt cirkel met middelpunt H en straal RH getekend. Dan geldt :
1/RH= 1/RF +1/RI
Heb alles uitgewerkt met excel en het klopt. Maar zou er ook een sluitend meetkundig bewijs bestaan ?
Bijlagen
DSCN0013.JPG

Berichten: 212

Re: Vijfhoek

Afbeelding
Kies de zijdelengte van de regelmatige 5-hoek = 4:
\(DE = AE = 4\)
We weten:
\(\cos(36) = \frac{1}{4}(1+\sqrt{5})\)
\(\sin(36) = \frac{1}{4} \sqrt{10-2\sqrt{5}}\)
dus
\(OD = 4 \cos(36) = (1+\sqrt{5})\)
\(OE = 4 \sin(36) = \sqrt{10-2\sqrt{5}}\)
Verder is
\(\frac{OF}{OD} = \tan(18) = \sqrt{1-\frac{2}{5}\sqrt{5}} \)
dat levert
\(OF = F_y = r_1 = \sqrt{2 - \frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
\(EF = OE - OF = (\sqrt{5}-1)\sqrt{2 - \frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
\(DF=\sqrt{OD^2+OF^2} = 2\cdot \sqrt{2 + \frac{2}{5}\sqrt{5}}\)

Nu kunnen we verder met driehoek DEF:

Afbeelding

\(\sin(18) = \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)\)
dus
\(F_y = DF \sin(18) = (\sqrt{5}-1)\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\sqrt{5}}\)
en omdat
\(\sin(72) = \sqrt{\frac{5}{8} + \frac{1}{8}\sqrt{5}}\)
is
\(FG = \frac{F_y}{\sin(72)} = 2 - \frac{2}{5}\sqrt{5} = EG\)
(dit laaste wegens gelijkbenigheid van driehoek EFG).

Nu kennen we de exacte waarden van alle zijden van driehoek DEF en van alle zijden van driehoek EFG.
De straal van de ingeschreven cirkels van deze 2 driehoeken kunnen we nu bepalen via

\(r = \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}\)

waarbij a, b en c de lengtes van de zijden van de driehoek zijn, en s de halve omtrek:
\(s = \frac{1}{2}(a+b+c)\)
(zie bijvoorbeeld https://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_ ... gle#Radius)

Hoewel er hierbij veel tegen elkaar zal wegvallen, vermoed ik dat dit laatste deel een behoorlijk grote berekening is (meer iets voor zo'n lange winteravond).

Wellicht dat iemand met een geschikt symbolisch rekenprogramma de 2 stralen exact wil berekenen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.740

Re: Vijfhoek

bij benadering
radii.png
radii.png (2.02 KiB) 812 keer bekeken

Berichten: 212

Re: Vijfhoek

\(r_1 = \sqrt{2 - \frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
\(r_3 = 4 - 2\sqrt{5}+2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\)

Nu r2 nog...

Gebruikersavatar
Berichten: 2.740

Re: Vijfhoek

r2.png
r2.png (1.61 KiB) 748 keer bekeken
8-)

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: Vijfhoek

Hierbij de rekenkundige uitwerking uitgevoerd met wat hoekvergelijkingen en beetje driehoeksmeetkunde waaruit de rekenkundige gelijkheid blijkt
Bijlagen
DSCN0014.JPG

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: Vijfhoek

de berekeningen even bijgewerkt naar een zijde van 4 cm
Bijlagen
DSCN0016.JPG

Berichten: 212

Re: Vijfhoek

(ukster: bedankt voor r2.)
Via de lengte van de zijden, exacte goniometrische gelijkheden en Heron's formule hebben we nu de exacte formule voor de 3 stralen r1, r2 en r3.
Dan resteert nog het aantonen van de gelijkheid; we beginnen met 1/r1:

\(\frac{1}{r_1} = \sqrt{\frac{1}{2-\frac{2}{5}\sqrt{5}}}= \sqrt{\frac{2+\frac{2}{5}\sqrt{5}}{4 - \frac{4}{5}}}= \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)

r2 in iets andere vorm:
\(r_2 = 1+\sqrt{5}-2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
dus
\(\frac{1}{r2} = \frac{1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}}{(1+\sqrt{5})^2-4\cdot (1+\frac{2}{5}\sqrt{5})} = \frac{1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}} {2+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
\(= \frac{(1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}})(2-\frac{2}{5}\sqrt{5})} {(2+\frac{2}{5}\sqrt{5})(2-\frac{2}{5}\sqrt{5}) }=\frac{1}{16}\left(1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)(10-2\sqrt{5})\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + 5\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}} - \sqrt{5+2\sqrt{5}} \right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + (5-\sqrt{5}) \sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + \sqrt{30-10\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\)


tenslotte 1/r3:
\(\frac{1}{r_3} = \frac{1}{4 - 2\sqrt{5}+2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} = \frac{4 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {(4 - 2\sqrt{5})^2-\left(2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)^2}\)
\(= \frac{4 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {(4 - 2\sqrt{5})^2-\left(2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {4-\frac{8}{5}\sqrt{5}}\)
\(= \frac{1}{4} \left( \frac{(2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}})(1+\frac{2}{5}\sqrt{5})} {(1-\frac{2}{5}\sqrt{5})(1+\frac{2}{5}\sqrt{5})}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)(5+2\sqrt{5})\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2(5+2\sqrt{5}) \sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{45+20\sqrt{5}} \sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\)

Uit bovenstaande volgt:
\(\frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)

Het probleem komt over als een mooie sangaku
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Sangaku)
De vraag is dan: is er een eleganter bewijs dan bovenstaand brutekracht bewijs ?

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: Vijfhoek

RedCat schreef: di 13 okt 2020, 21:47 (ukster: bedankt voor r2.)
Via de lengte van de zijden, exacte goniometrische gelijkheden en Heron's formule hebben we nu de exacte formule voor de 3 stralen r1, r2 en r3.
Dan resteert nog het aantonen van de gelijkheid; we beginnen met 1/r1:

\(\frac{1}{r_1} = \sqrt{\frac{1}{2-\frac{2}{5}\sqrt{5}}}= \sqrt{\frac{2+\frac{2}{5}\sqrt{5}}{4 - \frac{4}{5}}}= \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)

r2 in iets andere vorm:
\(r_2 = 1+\sqrt{5}-2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
dus
\(\frac{1}{r2} = \frac{1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}}{(1+\sqrt{5})^2-4\cdot (1+\frac{2}{5}\sqrt{5})} = \frac{1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}} {2+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\)
\(= \frac{(1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}})(2-\frac{2}{5}\sqrt{5})} {(2+\frac{2}{5}\sqrt{5})(2-\frac{2}{5}\sqrt{5}) }=\frac{1}{16}\left(1+\sqrt{5}+2\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)(10-2\sqrt{5})\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + 5\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}} - \sqrt{5+2\sqrt{5}} \right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + (5-\sqrt{5}) \sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + \sqrt{30-10\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left( 2\sqrt{5} + \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\)


tenslotte 1/r3:
\(\frac{1}{r_3} = \frac{1}{4 - 2\sqrt{5}+2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} = \frac{4 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {(4 - 2\sqrt{5})^2-\left(2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)^2}\)
\(= \frac{4 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {(4 - 2\sqrt{5})^2-\left(2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}} {4-\frac{8}{5}\sqrt{5}}\)
\(= \frac{1}{4} \left( \frac{(2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}})(1+\frac{2}{5}\sqrt{5})} {(1-\frac{2}{5}\sqrt{5})(1+\frac{2}{5}\sqrt{5})}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} - 4 + 2\sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)(5+2\sqrt{5})\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2(5+2\sqrt{5}) \sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{45+20\sqrt{5}} \sqrt{10-\frac{22}{5}\sqrt{5}}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\)

Uit bovenstaande volgt:
\(\frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)

Het probleem komt over als een mooie sangaku
(https://nl.wikipedia.org/wiki/Sangaku)
De vraag is dan: is er een eleganter bewijs dan bovenstaand brutekracht bewijs ?
ik heb een oplossing uitgewerkt die wel iets eenvoudiger is. Indien gewenst kan ik het proper op papier zetten en online zetten

Gebruikersavatar
Berichten: 512

Re: Vijfhoek

Deze oplossing/formule, komt ook voor bij een parallel schakeling van twee weerstanden.
Is het een soort universeel iets ?

Graag je eenvoudige oplossing hier plaatsen.

Gebruikersavatar
Berichten: 571

Re: Vijfhoek

De radius van de circels kun je ook omrekenen naar oppervlakten A. En de kwadraat van de radius niet vergeten. De oppervlakten relateren weer omgekeerd evenredig met de weerstand R=rho×l/A.

Dus als ik goed redeneer zijn het eigenlijk twee weerstanden in serie. Rt=R1+R2

Waarom hier deze verhouding relatie onstaat geen idee. De relatie met weerstand is wat ver gezocht.

Gebruikersavatar
Berichten: 701

Re: Vijfhoek

Hierbij mijn uitwerking voor dit probleem. Voor het berekenen van de stralen heb ik gebruik gemaakt van een misschien minder bekende methode (zie uitwerkingen). Via deze methode kon ik voor de eerste 2 deeldriehoeken een koppeling doen aan de opgegeven zijde van de vijfhoek die ik voor het gemak van rekenen heb gelijkgesteld aan 1. De derde straal vraagt ietsje meer uitwerking zonder moeilijk te worden. Na de nodige vereenvoudigingen bekomt men een mooie en eenvoudige gelijkheid. Ik heb de drie deeldriehoeken apart uitgetekend om het overzicht te bewaren.
Bijlagen
DSCN0020.JPG
DSCN0019.JPG
DSCN0018.JPG
DSCN0017.JPG

Berichten: 212

Re: Vijfhoek

@Rik Speybrouck: bedankt voor je uitwerking.
Je gebruikt de formule

\(r = \sin(\frac{\beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\gamma}{2}) \cdot \frac{a}{\cos( \frac{ \alpha}{2})}\)

Dat vereenvoudigt het rekenwerk aanzienlijk!
Voor mij was die formule nieuw, maar hij is redelijk eenvoudig te bewijzen:

Afbeelding

In het plaatje ligt punt P op BC, MP = r, BP + CP = a, de bisectrices van hoeken beta en gamma zijn in rood weergegeven.
\(\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{BP} \;\Rightarrow \; BP = \frac{r}{\tan(\frac{\beta}{2})} = r \cdot \frac{\cos(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})}\)
\(\tan(\frac{\gamma}{2}) = \frac{r}{CP} \;\Rightarrow \; CP = \frac{r}{\tan(\frac{\gamma}{2})} = r \cdot \frac{\cos(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\frac{\gamma}{2})}\)
dus
\(a = BP + CP = r \cdot \left(\frac{\cos(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})} + \frac{\cos(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\frac{\gamma}{2})}\right)\)
\(a = r \cdot \left(\frac{\cos(\frac{\beta}{2})\sin(\frac{\gamma}{2}) + \sin(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2}) \sin(\frac{\gamma}{2})}\right)\)
en dit levert:
\(r = a \cdot \left(\frac{\sin(\frac{\beta}{2}) \sin(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2})}\right) = a \cdot \frac{\sin(\frac{\beta}{2}) \sin(\frac{\gamma}{2})}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = a \cdot \frac{\sin(\frac{\beta}{2}) \sin(\frac{\gamma}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\)
hetgeen te bewijzen was.

Reageer