Een hardnekkige lusrij
-
- Berichten: 635
Een hardnekkige lusrij
Het begingetal van een nieuwe rij positieve, gehele getallen is vrij te kiezen.
Als een term een priemgetal p is, dan is de volgende term in de rij het getal 2p+1.
Als die term t geen priemgetal is, dan is de volgende term zijn grootste echte deler < t.
Elke volgende term wordt met dit recept bepaald.
Een voorbeeld: 23 (priem), 2×23+1 = 47 (priem), 2×47+1 = 95 = 5 × 19, 19 (priem), … .
Dergelijke rijen kunnen zeer grillig verlopen.
Een lusrij
Dit is zo’n rij: 5, 11, 23, 47, 95, 19, 39, 13, 27, 9, 3, 7, 15, 5 en vanaf hier begint de rij zichzelf te herhalen. Deze rij is een lusrij te noemen zonder speciaal begin of eind. De kleinste term blijkt 3 te zijn.
Tijdens mijn onderzoek met verschillende begingetallen kwam ik steeds in de bovenstaande lusrij terecht.
Ik stopte steeds, als herkenningspunt, bij de 3.
Zijn deze rijen ooit eerder onderzocht en gedocumenteerd?
Ik vermoed, dat elke rij met gegeven voorschrift tenslotte in de genoemde lusrij terecht komt, ongeacht het begingetal.
Kun jij dat bewijzen of weerleggen?
Als een term een priemgetal p is, dan is de volgende term in de rij het getal 2p+1.
Als die term t geen priemgetal is, dan is de volgende term zijn grootste echte deler < t.
Elke volgende term wordt met dit recept bepaald.
Een voorbeeld: 23 (priem), 2×23+1 = 47 (priem), 2×47+1 = 95 = 5 × 19, 19 (priem), … .
Dergelijke rijen kunnen zeer grillig verlopen.
Een lusrij
Dit is zo’n rij: 5, 11, 23, 47, 95, 19, 39, 13, 27, 9, 3, 7, 15, 5 en vanaf hier begint de rij zichzelf te herhalen. Deze rij is een lusrij te noemen zonder speciaal begin of eind. De kleinste term blijkt 3 te zijn.
Tijdens mijn onderzoek met verschillende begingetallen kwam ik steeds in de bovenstaande lusrij terecht.
Ik stopte steeds, als herkenningspunt, bij de 3.
Zijn deze rijen ooit eerder onderzocht en gedocumenteerd?
Ik vermoed, dat elke rij met gegeven voorschrift tenslotte in de genoemde lusrij terecht komt, ongeacht het begingetal.
Kun jij dat bewijzen of weerleggen?
- Berichten: 1.605
Re: Een hardnekkige lusrij
Ik snap het nog niet helemaal maar ben je niet naar 'twin' primes opzoek (gap g=2)? Misschien helpt je dit verder zoeken.
- Berichten: 4.320
Re: Een hardnekkige lusrij
Ik heb er ook een paar geprobeerd en kwam ook die drie tegen.
Heb je er een programmaatje voor geschreven, zodat je ze gemakkelijk kunt aflopen?
Heb je er een programmaatje voor geschreven, zodat je ze gemakkelijk kunt aflopen?
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: Een hardnekkige lusrij
De eerste dertig miljoen getallen komen uiteindelijk allemaal op 3 uit, in maximaal 45 stappen.
- Berichten: 209
Re: Een hardnekkige lusrij
Als je er even over nadenkt, zal je inzien dat elk (samengesteld) getal altijd uitkomt op zijn grootste priemfactor.
Het is dus voldoende de priemgetallen te checken.
Vertrekken van dit priemgetal krijgen we eerst een cunningham-ketting van Sophie Germainpriemgetallen.
Als er een oneindige cunningham-ketting zou bestaan, zou dit betekenen dat we niet altijd op jouw cycle uitkomen. Maar er is niet geweten of er oneindig veel Sophie Germainpriemgetallen zijn...Ik geloof zelf dat een cunningham-ketting sowieso eindig is, moet ik nog eens opzoeken. Indien het laatste waar is, brengt het geen extra info over jouw probleem.
To be continued.
Het is dus voldoende de priemgetallen te checken.
Vertrekken van dit priemgetal krijgen we eerst een cunningham-ketting van Sophie Germainpriemgetallen.
Als er een oneindige cunningham-ketting zou bestaan, zou dit betekenen dat we niet altijd op jouw cycle uitkomen. Maar er is niet geweten of er oneindig veel Sophie Germainpriemgetallen zijn...Ik geloof zelf dat een cunningham-ketting sowieso eindig is, moet ik nog eens opzoeken. Indien het laatste waar is, brengt het geen extra info over jouw probleem.
To be continued.
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: Een hardnekkige lusrij
De eerste honderd miljoen getallen komen uiteindelijk allemaal op 3 uit, in maximaal 47 stappen.
Geen van de getallen t/m 100.000.000 leidt tot een oneindige serie of een serie (lus) waar 3 niet in voorkomt.
Geen van de getallen t/m 100.000.000 leidt tot een oneindige serie of een serie (lus) waar 3 niet in voorkomt.
-
- Berichten: 463
Re: Een hardnekkige lusrij
Ik kom uit op 51 stappen voor 76 933 567:
Code: Selecteer alles
0 76933567 prime
1 153867135 comp (div by 3)
2 51289045 comp (div by 5)
3 10257809 prime
4 20515619 prime
5 41031239 prime
6 82062479 prime
7 164124959 prime
8 328249919 prime
9 656499839 prime
10 1312999679 comp (div by 29)
11 45275851 prime
12 90551703 comp (div by 3)
13 30183901 comp (div by 11)
14 2743991 prime
15 5487983 comp (div by 131)
16 41893 prime
17 83787 comp (div by 3)
18 27929 comp (div by 11)
19 2539 prime
20 5079 comp (div by 3)
21 1693 prime
22 3387 comp (div by 3)
23 1129 prime
24 2259 comp (div by 3)
25 753 comp (div by 3)
26 251 prime
27 503 prime
28 1007 comp (div by 19)
29 53 prime
30 107 prime
31 215 comp (div by 5)
32 43 prime
33 87 comp (div by 3)
34 29 prime
35 59 prime
36 119 comp (div by 7)
37 17 prime
38 35 comp (div by 5)
39 7 prime
40 15 comp (div by 3)
41 5 prime
42 11 prime
43 23 prime
44 47 prime
45 95 comp (div by 5)
46 19 prime
47 39 comp (div by 3)
48 13 prime
49 27 comp (div by 3)
50 9 comp (div by 3)
51 3 end
- niet het aantal stappen maar de lengte van de rij neemt
en
- niet de grootste echte deler < t maar de grootste priemdeler < t neemt ?
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: Een hardnekkige lusrij
Ik tel wel het aantal stappen maar ik neem inderdaad de grootste priemdeler.
Dat is inderdaad fout, in het eerste bericht volgt op 27 9. Dat is niet de grootste priemdeler maar de grootste deler<t.
Dat is inderdaad fout, in het eerste bericht volgt op 27 9. Dat is niet de grootste priemdeler maar de grootste deler<t.
-
- Berichten: 635
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: Een hardnekkige lusrij
In dit geval kan de computer inderdaad niets bewijzen.
Als hij tot een zekere grens vindt dat de rij uiteindelijk op 3 uitkomt weet je niet of dat voor alle getallen geldt.
Als hij niet op drie uitkomt binnen een afzienbaar aantal stappen dan is dat nog geen bewijs dat hij er nooit komt, dat die rij inderdaad oneindig is zonder herhalingen.
Het zou wel leuk zijn een andere lus te vinden waar 3 dan niet in zit.
Zoals RedCat schreef, ik gebruikte niet de juiste methode. Ik ben opnieuw begonnen en heb het programma wat efficiënter gemaakt.
Tot nu toe heb ik de eerste 27 miljoen getallen geprobeerd waarbij ik steeds in maximaal 49 stappen op 3 uitkwam.
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: Een hardnekkige lusrij
Nu met de correcte procedure:
De eerste tweehonderd miljoen getallen komen uiteindelijk allemaal op 3 uit, in maximaal 52 stappen.
De eerste tweehonderd miljoen getallen komen uiteindelijk allemaal op 3 uit, in maximaal 52 stappen.
- Berichten: 1.605
Re: Een hardnekkige lusrij
Hallo,
Ik heb een flow diagram gemaakt van de series.
Aanvankelijk wilde ik de kansen uitrekenen. Kans op priemgetal ja/nee: middels: 1/ln(x). Vervolgens de grootste deler bepalen. Delen door eerst: 2, 3, 4, 5 etc. De grootste deler is dan x/2 bijvoorbeeld. Een soort hyperbool van kansen.
Echter kans rekeningen zijn niet direct nodig. Men komt nooit in een lus terecht waar de getallen kleiner kunnen worden.
Niet priem tak:
Kleinste in: 4 kan alleen voorkomen als start getal.
Kleinste in: 6
Kleinste uit: 3
Priemtak:
Kleinste in: 3
Kleinste uit: 5
Over de rest moet ik verder nadenken.
Het product: 2*3=6 (eerste priemgetallen) een priemgetal is dan volgens mij altijd +1 of -1 van een veelvoud van 6.
De kleinste input niet priemtak is 6 en heeft als output 3.
Ik heb een flow diagram gemaakt van de series.
Aanvankelijk wilde ik de kansen uitrekenen. Kans op priemgetal ja/nee: middels: 1/ln(x). Vervolgens de grootste deler bepalen. Delen door eerst: 2, 3, 4, 5 etc. De grootste deler is dan x/2 bijvoorbeeld. Een soort hyperbool van kansen.
Echter kans rekeningen zijn niet direct nodig. Men komt nooit in een lus terecht waar de getallen kleiner kunnen worden.
Niet priem tak:
Kleinste in: 4 kan alleen voorkomen als start getal.
Kleinste in: 6
Kleinste uit: 3
Priemtak:
Kleinste in: 3
Kleinste uit: 5
Over de rest moet ik verder nadenken.
Het product: 2*3=6 (eerste priemgetallen) een priemgetal is dan volgens mij altijd +1 of -1 van een veelvoud van 6.
De kleinste input niet priemtak is 6 en heeft als output 3.
-
- Berichten: 463
Re: Een hardnekkige lusrij
De eerste honderd miljard (= 10^11) getallen komen uiteindelijk allemaal op 3 uit.
Omdat elk samengesteld getal n in (bigomega(n) - 1) stappen uitkomt op zijn grootste priemdeler hoeven we alleen de priemgetallen te checken (zie ook Bart23 hierboven).
Van 2, 3 en 5 weten we al dat ze op 3 uitkomen.
Check steeds het volgende priemgetal p, te beginnen met p=7.
Zodra de rij vanuit het huidige priemgetal p uitkomt op een getal n kleiner dan p, weten we zeker dat n op 3 uitkomt (als n samengesteld is, dan is zijn grootste priemdeler zeker kleiner dan p; is n priem, dan is dat een kleiner priemgetal dan p, en we hebben al gecheckt dat de priemgetallen kleiner dan p allemaal op 3 uitkomen).
Dus ook p behoort tot de priemgetallen die op 3 uitkomen.
Roep onderstaande functie check3(p) aan voor alle priemgetallen.
Voor geen enkel priem p < 10^11 loopt deze functie vast, dus bereiken al de getallen < 10^11 uiteindelijk het getal 3.
Dit betekent ook: als er een lus zou bestaan die NIET op 3 belandt, het kleinste priemgetal van die lus groter dan 10^11 is.
Parallel uitgevoerd in blokken van 20*10^9 getallen zijn binnen 5 uur alle priemgetallen < 10^11 gecheckt.
Omdat elk samengesteld getal n in (bigomega(n) - 1) stappen uitkomt op zijn grootste priemdeler hoeven we alleen de priemgetallen te checken (zie ook Bart23 hierboven).
Van 2, 3 en 5 weten we al dat ze op 3 uitkomen.
Check steeds het volgende priemgetal p, te beginnen met p=7.
Zodra de rij vanuit het huidige priemgetal p uitkomt op een getal n kleiner dan p, weten we zeker dat n op 3 uitkomt (als n samengesteld is, dan is zijn grootste priemdeler zeker kleiner dan p; is n priem, dan is dat een kleiner priemgetal dan p, en we hebben al gecheckt dat de priemgetallen kleiner dan p allemaal op 3 uitkomen).
Dus ook p behoort tot de priemgetallen die op 3 uitkomen.
Roep onderstaande functie check3(p) aan voor alle priemgetallen.
Voor geen enkel priem p < 10^11 loopt deze functie vast, dus bereiken al de getallen < 10^11 uiteindelijk het getal 3.
Dit betekent ook: als er een lus zou bestaan die NIET op 3 belandt, het kleinste priemgetal van die lus groter dan 10^11 is.
Code: Selecteer alles
check3(priem p)
{
n=2*p+1;
while(n>=p){
if(n is priem)
n = 2*n+1
else
n = grootste priemdeler van n
}
}
- Berichten: 4.320
Re: Een hardnekkige lusrij
Ik zit me af te vragen of er wel een bewijs (als het klopt) te leveren is.
In het bewijs zou waarschijnlijk iets moeten zitten, dat toets of een getal al dan niet priem is.
Daar is eigenlijk geen formule voor, waar mijn formule op is gebaseerd.
Het is geen bewijs maar slechts een vermoede, want er bestaan ook stellingen over priemen zonder ze te toetsen.
In het bewijs zou waarschijnlijk iets moeten zitten, dat toets of een getal al dan niet priem is.
Daar is eigenlijk geen formule voor, waar mijn formule op is gebaseerd.
Het is geen bewijs maar slechts een vermoede, want er bestaan ook stellingen over priemen zonder ze te toetsen.