Siergetal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 435

Siergetal

Rekenkundig telgetal
Een telgetal n heet een rekenkundig telgetal als het rekenkundig gemiddelde van zijn delers een geheel getal is.

Randvoorwaarden
Bij een kwadraat wordt zijn wortel maar één keer meegeteld voor het gemiddelde van de delers. Gangbaar is, dat delers 1 en n van telgetal n meegerekend worden bij de berekening van het gemiddelde van alle delers.

Meetkundige en harmonische gemiddelde
Hetzelfde kan gezegd worden over het meetkundige en harmonische gemiddelde van de delers.

Bijzondere delers
Als zo’n gemiddelde samenvalt met één van de delers, dan noem ik die deler een ‘rekenkundige, meetkundige of harmonische deler’.

Vragen
Kan een telgetal die genoemde drie soorten delers bezitten?
Zo ja, heeft zo’n getal een reeds gekozen naam? Bijvoorbeeld ‘siergetal’?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.863

Re: Siergetal

Van de eerste 250 miljoen getallen zijn er 1562 waarvan zowel het rekenkundig als het meetkundig gemiddelde een geheel getal is, 76 hebben zowel een geheeltallig rekenkundig als harmonisch gemiddelde.
Geen enkel getal heeft zowel een geheeltallig meetkundig als harmonisch gemiddelde.

Bepaald met een programmaatje.

Het enige analytische resultaat wat ik vond is dat een even macht van een priemgetal altijd een geheeltallig meetkundig gemiddelde heeft.

Berichten: 7.027

Re: Siergetal

Stel n heeft k delers: \(d_1 \cdots d_k\).
Het rekenkundig gemiddelde van n is dan:
\(r_n = \frac{1}{k} \sum_{i = 1}^k d_i\)
Voor het harmonische gemiddelde geldt:
\(h_n = \frac{1}{\frac{1}{k} \sum_{i = 1}^k \frac{1}{d_i}}\)
Ofwel:
\(= \frac{1}{\frac{1}{k} \sum_{i = 1}^k \frac{1}{d_i}} \cdot \frac{n}{n} = \frac{n}{\frac{1}{k} \sum_{i = 1}^k \frac{n}{d_i}}\)
Als \(d_i\) een deler is van n dan is \(\frac{n}{d_i}\) dat natuurlijk ook. Ofwel:
\(= \frac{n}{\frac{1}{k} \sum_{i = 1}^k d_{k + 1 - i}} = \frac{n}{r_n}\)
Hieruit volgt dus dat het harmonische gemiddelde gelijk is aan n gedeeld door het rekenkundige gemiddelde (voor de delers van n). Als het rekenkundig gemiddelde een waarde heeft die gelijk is aan een deler van n dan kan het dus niet anders dat het harmonische gemiddelde ook gelijk is aan een deler van n. Het harmonische gemiddelde kun je dus net zo goed niet bekijken.

Berichten: 7.027

Re: Siergetal

Stel n heeft k delers: \(d_1, \cdots, d_k\)
Voor het meetkundige gemiddelde geldt:
\(\sqrt[k]{\prod_{i=1}^k d_i}\)
Als d een deler is van n dan is \(\frac{n}{d}\) ook een deler van n. Er moet dus gelden:
\(d_i \cdot d_{k + 1 - i} = n\)
Er zijn twee opties: k is even of oneven.
Als k even is:
\(\sqrt[k]{\prod_{i=1}^k d_i} = \sqrt[k]{\prod_{i=1}^{\frac{k}{2}} d_i \cdot d_{k + 1 - i}} = \sqrt[k]{\prod_{i=1}^{\frac{k}{2}} n} = \sqrt[k]{n^{\frac{k}{2}}} = \sqrt{n}\)
Als k oneven is dan is "de middelste deler" gepaard met zichzelf ofwel dan is de middelste deler de wortel van n. Daaruit volgt ook:
\(\sqrt{n}\)
Kortom het meetkundige gemiddelde van alle delers van n is altijd de wortel van n. De enige manier dat dit een geheel getal is, is als n een kwadraat is.

Berichten: 435

Re: Siergetal

Korte samenvatting: rn x hn = mn x mn = n.
Geen 'siergetallen' gevonden.
Kan nu bewezen worden dat de siergetallen niet bestaan?

Berichten: 248

Re: Siergetal

1 = siergetal

Reageer