omtrek

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

omtrek

In een gelijkzijdige driehoek ABC liggen de punten D,E en F respectievelijk op de zijde AB,BC en AC
AD= 2 , AF= 1 en FC= 3
Wat is de lengte AE waarbij de omtrek van ΔDEF minimaal is.

Wanneer is de omtrek minimaal?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.704

Re: omtrek

FD ligt vast dus die hoeft niet uitgerekend te worden.
De zijden zijn 4 en de hoeken 60

Laat CP=p en EB=4-p

Bereken nu DE en FE met de cos-regel en minimaliseer hun som.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: omtrek

uiteraard....
maar ik zocht eigenlijk hoe je met de meetkunde de minimale omtrek krijgt

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: omtrek

een meetkundige constructie ,zeg maar

Gebruikersavatar
Berichten: 3.704

Re: omtrek

Ik had al een vermoede dat het wat minder makkelijk was. :lol:

Ik zou willen voor stellen de vraag te reduceren.

Twee lijnen snijden elkaar onder 60 graden.
Op een been liggen twee vaste punten X en Y (op de zelfde halve lijn) op het andere een derde punt Z.
Hoe moet ik het derde kiezen dat de XZ+YZ minimaal is?

Ook is er de vraag of het wel constateerbaar is, vermoedelijk wel gezien de hoek 60 is.
Daarbij is het punt wel uniek? (bij ZZ+YZ=p zonder verdere eis zeker niet)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: omtrek

Constructie van punt G (=reflectiepunt van F op de as BC)
De omtrek van ΔDEF lijkt minimaal als de punten D,E,G collineair zijn!
Zo van: In de Euklidiese meetkunde is de kortste verbinding tussen de punt D en G een rechte lijn
Heeft het punt van Fermat dan iets van doen met dit minimalisatieprobleem?
Omtrek.png
AE =4/5√19
Minimale omtrek ΔDEF = √3+√21

Gebruikersavatar
Berichten: 160

Re: omtrek

Je opmerking van die collineariteit klopt.
Eigenlijk zoek je de ellips met brandpunten F en D die de rechte BC als raaklijn heeft. (zie je dit in?)
Je kan het raakpunt eenvoudig construeren door één brandpunt te spiegelen over de raaklijn. Dit spiegelbeeld ligt dan automatisch op de rechte door het raakpunt en het andere brandpunt. Dat is een gevolg van de hoofdstelling van de ellips.
http://www.pandd.demon.nl/ellips/orthopt.htm

Reageer