Kettingbreuken

[Human]

Ik heb twee vragen over kettingbreuken die mij "tantaliseren".
1. Heeft elke tweede macht wortel aanleiding tot een "periodische" kettingbreuk
vb. 2^0,5 heeft als periodische kettingbreuk (1,2,2,2,2,2,.......
vb. 13^0,5 heeft als periodische kettingbreuk (3,1,1,1,6 ,1,1,1,6 .........
2.De "onvolledige" oneindige kettingbreuk van "pi" is (3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14 .......
Die van "e"is (2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10 ........
Beide getallen zijn "irrationaal", "transcendent" ..... en waarschijnlijk "normaal"
Blijkbaar is "e" toch nog "van een andere soort dan "pi" ... omdat "e" een "patroon" vertoont in zijn oneindige kettingbreuk.
Ik zoek een zinvolle verklaring ervoor, wie heeft er één ?

[tempelier]

Waardoor de een fraaier oogt dan de ander weet ik niet.

Wel is het zo dat voor de benadering van een irrationeel getal er altijd precies één (oneindige) kettingbreuk is.

[Human]

@tempeller,
Weet u het antwoord op mijn eerste vraag ..... hebben alle machten n^ 0,5 een "periodieke " oneindige kettingbreuk.
Het gaat mij om het periodiek zijn .... het steeds terug keren van de zelfde reeks getallen in de ontwikkeling.
............................
Enig idee waarom de oneindige kettingbreuk van "e" een duidelijk patroon vertoond ?

[tempelier]

Het is lang geleden dat ik at aan ketting breuken heb gedaan en heb Schuh er maar eens op nageslagen.

Het wordt behandeld in Lessen over Hogere Algebra III.
(Puntjes heeft dat boek misschien ook)

Maar er staat dit:
Een periodieke (gewone) ketting breuk is een oplossing van een vierkantsvergelijking met gehele coëfficiënten.

Het was wat weggezakt moet ik eerlijk toegeven, maar meer kan ik denk niet voor je betekenen.
Want op die laatste vraag weet ik het antwoord niet.

[Human]

@tempeller,
Het bewijs van wat U schreef over een vierkantsvergelijking vond ik in de literatuur.
Dat "e" in een kettingbreuk te schrijven is (met tellers 1)waar een patroon in zit .... maar "pi" niet vond ik ook.
Maar blijkbaar is "pi" wel te schrijven als ketting breuk (met tellers niet gelijk aan 1) ... waar een patroon in zit.
Einde verhaal denk ik.

benaderingpi.gif (3.35 KiB) 1528 keer bekeken

[tempelier]

Dat klopt.

Maar wat je plaatst zijn niet de gewone kettingbreuken, maar een generalisatie.

[tempelier]

Nog even dit.

Viete heeft een product formule gevonden voor pi die wel heel regelmatig is.
Hij bestaat uit wortels en de getallen 1 en 2.

Niet precies wat je wilde weten misschien wel leuk om te weten.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula

[Human]

@tempeler,
Dat klopt, ik ken die formule / uitdrukking.
Raar dat er zo veel formules bestaan met oneindig veel termen of factoren voor pi of een fractie / of macht van pi .
Ze boeien mij niet echt maar zijn /blijven toch curieuziteiten.
Die van Wallis vindt ik toch wel heel bijzonder.
Heb nog nooit zijn bewijs gevonden ervan in de literatuur.
...................................................
Enig idee als er een "generator" bestaat op internet (ikzelf vind er geen) voor het berekenen van de waarde van een kettingbreuk via ingeven van zijn "wijzer-getallen" ?
Ik ben nu wel eens benieuwd welk getal er de volgende wijzer-getallen heeft ...... (0;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,....)

[tempelier]

https://mathworld.wolfram.com/Continued ... tants.html

[Human]

@tempeller,
Prachtig, bedankt hoor.
Het bewijs van Wallis zal ik na zoeken wel vinden denk ik.
Een generator om via ingave van een beperkt aantal wijzergetallen de waarde te berekenen staat wellicht niet op internet.
Einde verhaal.