HK

[ukster]

In driehoek ABC is AB=AC=5 en BC=6
Punt E ligt op AC en punt F ligt op AB waarbij BE=CF, ∠EBC ≠ ∠FCB, en sinΘ=5/13 , waarbij Θ=∠EBC
H is het snijpunt van BE met CF
K is het punt op BC waarbij HK ⊥ BC
HK = ?
Volgens mij is dit de enig mogelijke situatie, maar hoe HK nu uit te rekenen..?

driehoek.png (6.33 KiB) 1469 keer bekeken

[RedCat]

Brute kracht:
[1]
BCE bestaat uit een schaling van 2 Pythagoreische driehoeken (5,12,13) en (3,4,5), waarbij:
12p+3q=6
5p=4q
Bepaal hieruit de coordinaten van E
[2]
Bepaal G: G is het snijpunt van
BG: y = (3/4)*x
en
AC: y = -(4/3)*x + 8
[3] Bepaal F' (= F accent)
F' = 2*G - E
[4] Bepaal F
Fx = 6 - F'x
Fy = F'y
[5] Bepaal H = snijpunt van BE en FC;
Hy = HK

Ter controle: als ik onderweg geen fouten heb gemaakt is
H = (759/169, 1265/676)

[ukster]

Knap gevonden oplossingsmethode
Ik ben voornemens een flink aantal hoeken te benoemen en dan met goniometrische identiteiten HK op te lossen. Dat moet te doen zijn!

[RedCat]

Dat werkt inderdaad sneller (met niet eens zo heel veel hoeken):
definieer φ=∠EBC; tan φ = 5/12
definieer ψ=∠BCE; tan ψ = 4/3
dan is
∠BEC = 180 - φ - ψ
∠BEG = 180 - (180 - φ - ψ) = φ + ψ = ∠BF'G
dus
∠EBF' = 180 - 2φ - 2ψ
en
∠CBF' = φ + (180 - 2φ - 2ψ) = 180 - φ - 2ψ = ∠BCF
via goniometrische gelijkheden (en de gegeven waarden van tan(φ) en tan(ψ)) kom ik uit op:
tan(180 - φ - 2ψ) = 253/204

Tenslotte volgt uit
tan(φ) = 5/12 = HK/p
en
tan(∠BCF) = 253/204 = HK/(6-p)
net als eerder:
HK = 1265/676

[ukster]

Ik was al een aardig eind op weg ,eigenlijk identiek aan jouw uitwerking..
ik maak het nog even af...

[ukster]

Driehoek ABC.png (4.91 KiB) 1193 keer bekeken

[RedCat]

... en de schoonheidsprijs gaat naar de goniometrie

[ukster]

Elegantie is schoonheid die voortkomt uit een zekere effectiviteit en simpliciteit.
Beide doen niet voor elkaar onder zou ik zeggen