Functies op variëteit

Moderators: Xilvo, dirkwb

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Functies op variëteit

Laat \( \mathcal{M} \) een m-dimensionale differentieerbare variëteit zijn die het punt p bevat.
Laat verder φ een kaartafbeelding van φ's domein \( D \subset \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R}^m \) zijn waarbij \( p \in D \).
Laat tenslotte ui de projectiefunctie zijn die voor punten in \( \mathbb{R}^m \) de i-de coördinaat oplevert.

Vraag: welke functies f van D naar \( \mathbb{R} \) zijn dan in de vorm \( f = u^i \circ \varphi \) te schrijven?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.821

Re: Functies op variëteit

Het is mij niet duidelijk wat voor soort antwoord je verwacht. Ik kan zelf niet veel meer verzinnen dan het tautologische antwoord "alle functies die te schrijven zijn als \(u_i\circ \varphi\) ".

Waarschijnlijk ben je op zoek naar zoiets als "alle differentieerbare functies", maar dat hangt van de precieze definitie van het begrip 'kaartafbeelding' af, en die ken ik niet meer uit mijn hoofd.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Re: Functies op variëteit

Zie hier de definitie:
kaart.JPG
Bron: Isham: Modern differential geometry for physicists.


Ik vroeg me ook al af hoe wiskundigen al die honderden definities onthouden. ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.821

Re: Functies op variëteit

Ten eerste, bedenk dat een functie \(\varphi\) van \(D\) naar \(\mathbb{R}^m\) niets anders is dan een tupel van functies \((\varphi_1, \varphi_2, \dots \varphi_m)\), waarbij elke \(\varphi_i\) een afbeelding van \(D\) naar \(\mathbb{R}\) is.

Dus \(u^i \circ \varphi\) is niets anders dan de functie \(\varphi_i\).

De vraag is dus waar de functies \(\varphi_i\) aan moeten voldoen zodanig dat \(\varphi = (\varphi_1, \varphi_2, \dots \varphi_m)\) een homeomorfisme is naar een open subset van \(\mathbb{R}^m\) .

Intuïtief kun je die vraag herformuleren als volgt: als je een coordinaten stelsel kiest, welk type functie \(\varphi_i\) kun je dan kiezen voor de i-de coordinaat?

Het lijkt me dat je gewoon elke willekeurige continue en injectieve functie kunt kiezen, maar dat mag je zelf napluizen :)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.821

Re: Functies op variëteit

Professor Puntje schreef: zo 18 jul 2021, 12:56 Ik vroeg me ook al af hoe wiskundigen al die honderden definities onthouden. ;)
De truc is vooral om te begrijpen waarom een bepaalde definitie gekozen is, waar die definitie voor nodig is, en wat er mis zou gaan als je een willekeurig detail uit de definitie zou weglaten of veranderen.

Als je dat eenmaal door hebt, dan wordt het allemaal zo vanzelfsprekend dat je de definitie eigenlijk niet meer hoeft te onthouden, en in plaats daarvan 'zie je het gewoon voor je'. En puur op basis van dat inzicht kun je dan weer nieuwe stellingen formuleren en proberen te bewijzen.

De definitie van een kaartafbeelding, bijvoorbeeld, klinkt ontzettend ingewikkeld, maar uiteindelijk is het niets anders dan een manier om het begrip 'coordinatenstelsel' netjes te formuleren.

Alleen op het moment dat je het bewijs van een nieuwe stelling op wil schrijven moet je er soms de officiele definities van de begrippen die je hebt gebruikt er weer even bij pakken, om zeker te zijn dat je alles netjes uitgewerkt hebt.
Laatst gewijzigd door Math-E-Mad-X op ma 19 jul 2021, 11:44, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Re: Functies op variëteit

Ah - bedankt. Ik zal vanavond bekijken of ik daar uit kom.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Re: Functies op variëteit

Math-E-Mad-X schreef: ma 19 jul 2021, 11:43
Professor Puntje schreef: zo 18 jul 2021, 12:56 Ik vroeg me ook al af hoe wiskundigen al die honderden definities onthouden. ;)
De truc is vooral om te begrijpen waarom een bepaalde definitie gekozen is, waar die definitie voor nodig is, en wat er mis zou gaan als je een willekeurig detail uit de definitie zou weglaten of veranderen.

Als je dat eenmaal door hebt, dan wordt het allemaal zo vanzelfsprekend dat je de definitie eigenlijk niet meer hoeft te onthouden, en in plaats daarvan 'zie je het gewoon voor je'. En puur op basis van dat inzicht kun je dan weer nieuwe stellingen formuleren en proberen te bewijzen.

De definitie van een kaartafbeelding, bijvoorbeeld, klinkt ontzettend ingewikkeld, maar uiteindelijk is het niets anders dan een manier om het begrip 'coordinatenstelsel' netjes te formuleren.

Alleen op het moment dat je het bewijs van een nieuwe stelling op wil schrijven moet je er soms de officiele definities van de begrippen die je hebt gebruikt er weer even bij pakken, om zeker te zijn dat je alles netjes uitgewerkt hebt.
Gelukkig maar! Elementaire wiskunde vond ik vroeger in tegenstelling tot vreemde talen altijd makkelijk omdat dat vooral een kwestie van begrijpen was, maar bij die torens van gestapelde definities op definities zoals in de moderne differentiaalmeetkunde begint het mij al na een paar bladzijden te duizelen. Schetsjes van wat er eigenlijk gebeurt willen dan nog wel eens helpen.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Re: Functies op variëteit

Math-E-Mad-X schreef: ma 19 jul 2021, 11:33 Ten eerste, bedenk dat een functie \(\varphi\) van \(D\) naar \(\mathbb{R}^m\) niets anders is dan een tupel van functies \((\varphi_1, \varphi_2, \dots \varphi_m)\), waarbij elke \(\varphi_i\) een afbeelding van \(D\) naar \(\mathbb{R}\) is.

Dus \(u^i \circ \varphi\) is niets anders dan de functie \(\varphi_i\).

De vraag is dus waar de functies \(\varphi_i\) aan moeten voldoen zodanig dat \(\varphi = (\varphi_1, \varphi_2, \dots \varphi_m)\) een homeomorfisme is naar een open subset van \(\mathbb{R}^m\) .

Intuïtief kun je die vraag herformuleren als volgt: als je een coordinaten stelsel kiest, welk type functie \(\varphi_i\) kun je dan kiezen voor de i-de coordinaat?

Het lijkt me dat je gewoon elke willekeurige continue en injectieve functie kunt kiezen, maar dat mag je zelf napluizen :)
Een afbeelding f van de topologische ruimte (X,τ) naar de topologische ruimte (Y,τ') is (per definitie) precies dan een homeomorfisme wanneer f een bijectie is en f en f-1 continu zijn. De functie \(\varphi = (\varphi_1, \varphi_2, \dots \varphi_m)\) moet dus een bijectie zijn en \( \varphi \) en \( \varphi^{-1} \) moeten continu zijn.

Stel nu dat we voor \( \varphi \) een willekeurige continue en injectieve functie van \(D\) naar \(\mathbb{R}^m\) kiezen. Dan is de functie \( \varphi \) continu en een bijectie tussen \(D\) en \(\varphi(D)\). Maar is \( \varphi^{-1} \) ook continu?

Gebruikersavatar
Berichten: 177

Re: Functies op variëteit

Neem voor M de verzameling [0,2π[ met standaard (spoor)topologie. Dan is D=[0,2π[ zeker een open deel van M, want het is de hele verzameling M.
Beschouw nu de afbeelding
\(f:D\to\mathbb{R}^2:t\to(\cos t,\sin t)\)
Dan is de afbeelding
\(\phi:D\to f(D):t\to f(t)\)
een bijectie die continu is (met eveneens de standaardtopologie op f(D)). Maar het inverse beeld van een (kleine) open 'schijf' rond het punt (1,0) zal niet samenhangend zijn, m.a.w. φ-1 kan niet continu zijn.
Continue bijecties zijn dus i.h.a. geen homeomorfismen. Als je je beperkt tot functies van R naar R, denk ik wel dat het voldoende is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.022

Re: Functies op variëteit

Ah - dank voor het antwoord.

Reageer