ukster schreef: ↑wo 21 jul 2021, 18:56
Om jouw vraag verder te kunnen beantwoorden moet het verband tussen x en y bekend zijn.
In bovenstaande post geef je 1 vergelijking met 2 onbekenden (x en y).
We hebben dus nog een vergelijking in x en y nodig om het probleem op te lossen.
(Terzijde: zoals je zelf al schreef is er mogelijk wat mis met je vergelijking: je waarde van x lijkt te kloppen, de waarde van y niet.)
Hier nog een trigonometrische poging, gebaseerd op jouw plaatje:
- vierkant4.png (9.43 KiB) 2184 keer bekeken
Kies
R = 1, en noem
\(\angle BAF = \alpha \;\;\; \Rightarrow \tan \alpha = 1-x\)
\(\angle DCF = \gamma \;\;\; \Rightarrow \tan \gamma = x\)
[1] In gelijkbenige driehoek CEF geldt dan:
\(\angle EFC = \alpha + \gamma = \angle ECF \;\;\; \Rightarrow \angle CEF = 180^\circ -2\alpha - 2\gamma\)
en omdat CF² = R² + x² = 1 + x² geldt volgens de cosinusregel op hoek CEF:
\(1+x^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 \cos(180^\circ - 2\alpha - 2\gamma)\)
\(1+x^2 = y^2 + y^2 + 2y^2 \cos(2\alpha + 2\gamma)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 2\gamma)\right)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 2\cos^2(\alpha +\gamma)\right)\)
\(y^2 = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)
[2] En in gelijkbenige driehoek CDE geldt:
\(\angle DCE = \alpha + 2\gamma = \angle CED \;\;\; \Rightarrow \angle CDE = 180^\circ -2\alpha - 4\gamma\)
Hier geldt volgens de cosinusregel op hoek CDE:
\(y^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(180^\circ -2\alpha - 4\gamma)\)
en omdat R = 1:
\(y^2 = 2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 4\gamma) \right)\)
\(y^2 = 4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \)
Uit
[1] en
[2] volgt
\(4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)
\(16 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \cos^2(\alpha + \gamma) -1 - x^2 = 0\)
Nu kunnen we deze formule omzetten naar een uitdrukking in
x, cos(α), sin(α), cos(γ) en sin(γ),
vervolgens via trigonometrische gelijkheden in
x, tan(α) en tan(γ)
en tenslotten in uitsluitend machten van x (met behulp van tan(α) = 1-x en tan(γ) = x).
Hopelijk komt daar dan een gelijkheid met een lagere dan 6e graad van x uit.
Deze klus laat ik over aan een liefhebber.
Anderzijds kunnen we ook direct numeriek oplossen:
\(16 \cos^2(\text{atan}(1-x) + 2\; \text{atan}(x)) \cdot \cos^2(\text{atan}(1-x) + \text{atan}(x)) -1 - x^2 = 0\)
Dit levert x = 0.2608634482264... , waardoor we net als eerder vinden:
\(q = \frac{1-x}{x} = 2.83342322122477... \)