vierkant

Moderators: Xilvo, dirkwb

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 788

vierkant

Zou voor de verhouding uiteengezet in de tekening ergens een verhouding bestaan bv tov van de zijde van het vierkant of een of andere verhouding die mooi kan uitgedrukt worden of zou dit gewoon onmogelijk zijn. Ik zie het nog niet direct iemand anders misschien.
Bijlagen
DSCN0240.JPG

Berichten: 298

Re: vierkant

Via lijn- en cirkelformules kom ik vooralsnog slechts uit op een numerieke benadering:

Definieer:
A=(0,0); B=(0,-28); C=(28,0); D=(28,-28); E=(xe,ye); F=(xf,-28)
l = de lijn door A, E en F:
\(l: \; y=\frac{-28}{\text{xf}}\cdot x = \frac{\text{ye}}{\text{xe}}\cdot x\)
en C de cirkel met middelpunt D en straal 28:
\(C: \; (x-28)^2 + (y+28)^2 = 28^2\)

[oplossing 1]
Omdat ye op cirkel C ligt, geldt:
\(\text{ye}=\sqrt{56\cdot \text{xe} - \text{xe}^2} -28\)
waardoor
\(\text{xf} = -28\cdot \frac{\text{xe}}{\text{ye}}\)
ook is uit te drukken in xe.
Uit |EF| = |EC| volgt dan
\(14\text{xe}^2+\text{xe}\cdot \text{ye} \cdot (\text{xe} + \text{ye}) + \text{ye}^3 = 0\)
ofwel volledig uitgedrukt in xe:
xe^6 - 252*xe^5 + 23716*xe^4 - 943936*xe^3 + 15366400*xe^2 - 137682944*xe + 481890304 = 0
met naast de 4 complexe oplossingen 2 reele, waarvan de onze:
xe ~= 7.0037122920523058687471072523177134430

[oplossing 2]
Via de midelloodlijn op FC:
\(m: \; y=\left(\frac{\text{xf}}{28} - 1\right)\cdot x -\frac{\text{xf}^2-28^2}{56}-14\)
dan wordt E het snijpunt van lijnen l en m:
\(\text{xe} = \frac{\text{xf}^3}{2\text{xf}^2-56\text{xf}+1568}\)
en
\(\text{ye} = \frac{-28\text{xf}^2}{2\text{xf}^2-56\text{xf}+1568}\)
Als we dit invullen in de cirkelvergelijking van C krijgen we een 6e-graadsvergelijking in xf:
xf^6 - 112*xf^5 + 3920*xf^4 - 175616*xf^3 + 4917248*xf^2 - 137682944*xf + 1927561216
met voor ons relevante oplossing
xf ~= 20.695823449659689864994808138914160621


In beide gevallen moet het gevraagde quotient
\(q = \frac{BF}{FD}=\frac{\text{xf}}{28-\text{xf}}\)
voldoen aan
\(2q^6 + 2q^5 - 9q^4 - 24q^3 -28q^2 - 16q - 4 = 0\)
(noot: opvallend eenvoudige coefficienten!)
met onze oplossing:
q ~= 2.8334232212247727262360546483973556556


Wordt vervolgd ??

Gebruikersavatar
Berichten: 788

Re: vierkant

oei das het een en het ander

Gebruikersavatar
Berichten: 3.468

Re: vierkant

Ik heb wat gestoeid met goniometrie en Pythagoras.
vierkant.png
vierkant.png (7.96 KiB) 1216 keer bekeken
Kan het zijn dat dit de relatie is tussen x, y en R ?
relatie tussen x y en R.png
relatie tussen x y en R.png (2.54 KiB) 1216 keer bekeken
Om jouw vraag verder te kunnen beantwoorden moet het verband tussen x en y bekend zijn.
Helaas heb ik dat nog niet kunnen vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.950

Re: vierkant

Je kunt nemen R=1
Kies je een x dan is y nog min of meer vrij te kiezen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.468

Re: vierkant

Beetje spelen met mijn formule en de gevonden waarde 2,8334 van RedCat kom ik voor R=10 uit op y=7,769 en x=2,608
Misschien kan RedCat e.e.a bevestigen?

Ik heb het nog es getekend en opgemeten ,maar het klopt toch niet denk ik :?

Berichten: 298

Re: vierkant

Hier mijn waarden voor een 28x28 vierkant (zoals in het plaatje):
xe = 7.0037122920523058687471072523177134430
ye = -9.4755323292385925340471653755306530781
xf = 20.695823449659689864994808138914160621
yf = -28
EC = 23.035403413818503862530365151559489328
EF = 23.035403413818503862530365151559489328
(dus EC = EF)
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
(dus E en F liggen op 1 lijn door de oorsprong = A)
ED = 28.000000000000000000000000000000000000
(dus E ligt op de cirkel met middelpunt D en straal 28)
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557

En hier de schaling naar een 10x10 vierkant (R=10):
xe = 2.5013258185901092388382525901134690868
ye = -3.3841186890137830478739876341180903850
xf = 7.3913655177356035232124314781836287932
yf = -10
EC = 8.2269297906494656651894161255569604743
EF = 8.2269297906494656651894161255569604744
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
ED = 10.000000000000000000000000000000000000
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557

Gebruikersavatar
Berichten: 788

Re: vierkant

RedCat schreef: do 22 jul 2021, 00:12 Hier mijn waarden voor een 28x28 vierkant (zoals in het plaatje):
xe = 7.0037122920523058687471072523177134430
ye = -9.4755323292385925340471653755306530781
xf = 20.695823449659689864994808138914160621
yf = -28
EC = 23.035403413818503862530365151559489328
EF = 23.035403413818503862530365151559489328
(dus EC = EF)
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
(dus E en F liggen op 1 lijn door de oorsprong = A)
ED = 28.000000000000000000000000000000000000
(dus E ligt op de cirkel met middelpunt D en straal 28)
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557

En hier de schaling naar een 10x10 vierkant (R=10):
xe = 2.5013258185901092388382525901134690868
ye = -3.3841186890137830478739876341180903850
xf = 7.3913655177356035232124314781836287932
yf = -10
EC = 8.2269297906494656651894161255569604743
EF = 8.2269297906494656651894161255569604744
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
ED = 10.000000000000000000000000000000000000
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
Ik heb ondertussen nog een eigen interpretatie gemaakt. Ik moet alles nog proper samenvatten en zet het dan on line. Kan wel zijn dat het pas morgen zal zijn. Al bij al toch een niet zo eenvoudig probleem.

Gebruikersavatar
Berichten: 788

Re: vierkant

Hierbij zoals beloofd een andere uitwerking van dit probleem met zelfde resultaat op het einde
Bijlagen
DSCN0245.JPG
DSCN0244.JPG
DSCN0243.JPG
DSCN0242.JPG
DSCN0241.JPG

Berichten: 298

Re: vierkant

ukster schreef: wo 21 jul 2021, 18:56 Om jouw vraag verder te kunnen beantwoorden moet het verband tussen x en y bekend zijn.
In bovenstaande post geef je 1 vergelijking met 2 onbekenden (x en y).
We hebben dus nog een vergelijking in x en y nodig om het probleem op te lossen.
(Terzijde: zoals je zelf al schreef is er mogelijk wat mis met je vergelijking: je waarde van x lijkt te kloppen, de waarde van y niet.)

Hier nog een trigonometrische poging, gebaseerd op jouw plaatje:
vierkant4.png
vierkant4.png (9.43 KiB) 830 keer bekeken
Kies R = 1, en noem
\(\angle BAF = \alpha \;\;\; \Rightarrow \tan \alpha = 1-x\)
\(\angle DCF = \gamma \;\;\; \Rightarrow \tan \gamma = x\)

[1] In gelijkbenige driehoek CEF geldt dan:
\(\angle EFC = \alpha + \gamma = \angle ECF \;\;\; \Rightarrow \angle CEF = 180^\circ -2\alpha - 2\gamma\)
en omdat CF² = R² + x² = 1 + x² geldt volgens de cosinusregel op hoek CEF:
\(1+x^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 \cos(180^\circ - 2\alpha - 2\gamma)\)
\(1+x^2 = y^2 + y^2 + 2y^2 \cos(2\alpha + 2\gamma)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 2\gamma)\right)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 2\cos^2(\alpha +\gamma)\right)\)
\(y^2 = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)

[2] En in gelijkbenige driehoek CDE geldt:
\(\angle DCE = \alpha + 2\gamma = \angle CED \;\;\; \Rightarrow \angle CDE = 180^\circ -2\alpha - 4\gamma\)
Hier geldt volgens de cosinusregel op hoek CDE:
\(y^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(180^\circ -2\alpha - 4\gamma)\)
en omdat R = 1:
\(y^2 = 2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 4\gamma) \right)\)
\(y^2 = 4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \)

Uit [1] en [2] volgt
\(4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)
\(16 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \cos^2(\alpha + \gamma) -1 - x^2 = 0\)
Nu kunnen we deze formule omzetten naar een uitdrukking in
x, cos(α), sin(α), cos(γ) en sin(γ),
vervolgens via trigonometrische gelijkheden in
x, tan(α) en tan(γ)
en tenslotten in uitsluitend machten van x (met behulp van tan(α) = 1-x en tan(γ) = x).
Hopelijk komt daar dan een gelijkheid met een lagere dan 6e graad van x uit.
Deze klus laat ik over aan een liefhebber.

Anderzijds kunnen we ook direct numeriek oplossen:
\(16 \cos^2(\text{atan}(1-x) + 2\; \text{atan}(x)) \cdot \cos^2(\text{atan}(1-x) + \text{atan}(x)) -1 - x^2 = 0\)
Dit levert x = 0.2608634482264... , waardoor we net als eerder vinden:
\(q = \frac{1-x}{x} = 2.83342322122477... \)

Gebruikersavatar
Berichten: 175

Re: vierkant

Niet dat ik een liefhebber ben, maar dit kon vrij efficiënt:
\(-\frac{(x^6 - 2 x^5 + 8 x^3 - 11 x^2 + 10 x - 2) (x^6 - 2 x^5 + 8 x^4 - 16 x^3 + 21 x^2 - 14 x + 6)}{(x^2 + 1)^3 (x^2 - 2 x + 2)^2}\)
:mrgreen: :lol:
Enkel de eerste factor (=exact de veelterm die Rik ook uitkwam) geeft reële oplossingen, waarvan één positief x ≈ 0.260863

Gebruikersavatar
Berichten: 3.468

Re: vierkant

@RedCat
Dank voor deze mooie uitwerking.
Van begin af aan had ik een trigonometrische oplossing voor ogen. Na (erg)veel pogingen lukte het maar niet de vereiste vergelijkingen te krijgen en gaf uiteindelijk de moed op :(

Gebruikersavatar
Berichten: 788

Re: vierkant

ukster schreef: ma 26 jul 2021, 09:39 @RedCat
Dank voor deze mooie uitwerking.
Van begin af aan had ik een trigonometrische oplossing voor ogen. Na (erg)veel pogingen lukte het maar niet de vereiste vergelijkingen te krijgen en gaf uiteindelijk de moed op :(
zo beschikken we in feite over 2 benaderingen

Gebruikersavatar
Berichten: 3.468

Re: vierkant

@Rik Speybrouck
Al met al een mooie brainteaser Rik :D

Reageer