Complexe priemgetallen

Moderators: Xilvo, dirkwb

Reageer
Berichten: 476

Complexe priemgetallen

Gauss’ heeltallen m + ni zijn complexe getallen waarbij m en n gehele getallen zijn.
Het product van twee Gauss’ heeltallen is altijd een Gauss’ heeltal. Zo is (2 – 3i)(3 – 4i) = –6 – 17i. Omgekeerd geldt, dat –6 – 17i ontbonden kan worden in twee Gauss’ heeltallen.

In het domein van de reële getallen heeft het priemgetal p precies twee delers, namelijk 1 en p.
Echte delers zijn er niet.
(Een deelverzameling van de reële priemgetallen is de verzameling Gauss’ priemgetallen. Die wil ik hier niet beschouwen. Ze zijn voor mijn vraag niet relevant.)
Ik vroeg me af, of er op dezelfde manier ook complexe priemgetallen zonder echte delers bestaan? Met andere woorden: zouden er Gauss’ heeltallen bestaan die niet ontbonden kunnen worden in twee Gauss’ heeltallen?

(a+bi)/i = b – ai. Kennelijk is elk Gauss’ heeltal deelbaar door i. Met de gemaakte afspraak zijn er blijkbaar geen complexe priemgetallen. Maar hoe zit het, als i niet als een echte complexe deler beschouwd wordt, net als bovengenoemde 1 en p? Dat spreek ik nu af.

Ik heb er enige gevonden: 1+2i 1+4i 1+6i 2+5i 2+7i en 2+9i. Ze bestaan dus!
Welk Gauss’ heeltal je ook bij deze voorbeelden als deler probeert, je stuit steeds op breuken.

Er bestaat geen formule waarmee je eindeloos (reële) priemgetallen kunt genereren.
Mogelijk bestaat er evenmin een formule voor de niet-ontbindbare complexe priemgetallen.
De voorbeelden geven geen enkele aanwijzing in welke richting gezocht zou moeten worden.

Ik heb niets over dit onderwerp in de wiskundeliteratuur gevonden.
Weet één van jullie meer over dit onderwerp?
Heeft u commentaar of vragen?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.951

Re: Complexe priemgetallen

Ik ben er eigenlijk altijd van uit gegaan dat dit zo was.
Bedenk dat er nu vier eenheden zijn. 1 , -1 , i , -i

1+i is er dan zo eentje als je bedoeld en dat laat zich makkelijk bewijzen, via de absolute waarde.
Maar het zouden er misschien slechts eindig veel kunnen zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.951

Re: Complexe priemgetallen

Er is nog iets wat me te binnenschoot.

Het meest gebruikte bewijs dat er oneindig veel priemen zijn onder de natuurlijke getallen werkt niet in het complexe gebied.
Dit komt omdat 2 daar niet priem is.

Berichten: 476

Re: Complexe priemgetallen

Tempelier zegt
1+i is er dan zo eentje als je bedoeld en dat laat zich makkelijk bewijzen, via de absolute waarde.
Maar het zouden er misschien slechts eindig veel kunnen zijn.

Kun je dat laten zien?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.951

Re: Complexe priemgetallen

efdee schreef: zo 25 jul 2021, 14:57 Tempelier zegt
1+i is er dan zo eentje als je bedoeld en dat laat zich makkelijk bewijzen, via de absolute waarde.
Maar het zouden er misschien slechts eindig veel kunnen zijn.

Kun je dat laten zien?
Dat heb ik zeker niet paraat.

Ik vermoed dat er nog steeds oneindig veel van zijn, maar een bewijs hiervoor heb ik niet voorhanden.

Of bedoelde je dat ik moet aantonen dat 1+i Priem is?

Berichten: 476

Re: Complexe priemgetallen

Ja

Gebruikersavatar
Berichten: 3.951

Re: Complexe priemgetallen

Ik neem dat het het laatste is.

Het loopt via de absolute waarde, zoals ik al eerder meldde.
De absolute waarde van z wordt genoteerd als |z|

Ook geldt dat |z|*|w|=|zw|

\(|1+i|=\sqrt{2}\)

Als 1+i de echte delers z en w heeft dan moet geleden |z|*|w|=|1+i|
Even snel uittellen laat zien dat die er niet zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 177

Re: Complexe priemgetallen

2+9i=i·(2−i)·(4+i)

De norm van a+bi is in deze context trouwens a²+b² (zonder wortel)

Een geheel getal van Gauss a+bi is priem dan en slechts dan als:

*) a of b gelijk is aan nul en de ander een priemgetal is van de vorm
4n+3 of zijn negatieve -(4n+3)
*) zowel a als b ongelijk zijn aan 0 en a²+b² een priemgetal is.
zie: https://nl.wikipedia.org/wiki/Geheel_getal_van_Gauss

Berichten: 476

Re: Complexe priemgetallen

Bart, een priemgetal van Gauss is een reëel getal en een product van een een complex getal en zijn geconjugeerde.
Daar gaat het hier niet om.

Gebruikersavatar
Berichten: 177

Re: Complexe priemgetallen

Die waar het hier niet om gaan (de reële priemgetallen die geen priemgetallen van Gauss zijn) zijn 2 en alle priemgetallen van de vorm 4n+1. Bv 2=(1+i)(1-i) of 13=(2+3i)(2-3i).
De (echte) priemgetallen van Gauss, waar het hier wel over gaat, als ik je tenminste goed begrijp, staan achter het eerste sterretje (bv 3, 19, 23) en achter het tweede sterretje. Bv 1+i, want 1²+1²=2 (en 2 is een 'gewoon' priemgetal. Of 2+7i, want 2²+7²=53=priem. Maar niet jouw laatste voorbeeld 2+9i, want 2²+9²=85, wat niet priem is. En inderdaad is 2+9i te ontbinden in een product van 2 Gaussische gehelen die wel priem zijn: 2+9i=(1+2i)·(4+i).
Merk op dat deze ontbinding uniek is (op volgorde van de factoren en unit-veelvouden na)

Berichten: 476

Re: Complexe priemgetallen

2+9i is inderdaad een verkeerd voorbeeld vanwege 2+9i=(1+2i)·(4+i).

Reageer