Gulden snede

[Rik Speybrouck]

Uitwerking voor een gulden snede, de probleemstelling staat uitgelegd in de 2 bijlagen hierbij gevoegd.

[RedCat]

Je hebt al voor driehoek ABC:
AC=1, BC=2, AB=√5
en

\(R=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(r=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Driehoek ACD heeft dezelfde omgeschreven cirkel, dus ook hier is

\(R=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Verder is b=AC=1
Noem c=AD en a=CD, dan is wegens de gulden snede:

\(\frac{c+1}{a}=\varphi\)

ofwel

\(a = \frac{c+1}{\varphi}\)

Gebruik dan deze formule voor de omgeschreven cirkel:

\(R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\)

(zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr ... properties)
waarin alleen c nu nog een onbekende is.
Als ik hieruit c oplos (wel redelijk wat werk), dan kom ik uit op

\(c=\frac{\sqrt{5}}{9}\)

waardoor

\(a = \frac{c+1}{\varphi}= \frac{-2+4\sqrt{5}}{9}\)

Gebruik dan (zie dezelfde wiki-pagina, iets lager:)

\(r=\frac{abc}{2R(a+b+c)}\)

om de inradius van driehoek ACD te bepalen.