Een raakcirkel

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 526

Een raakcirkel

Geen huiswerk.
Een rechthoekige driehoek heeft zijden a, b en c. De hoek tussen a en b is recht.
Hoe is de straal r van de cirkel te berekenen die a en b raakt en hoe vind je qua afstand waar diens middelpunt M op c ligt? (Dit is kennelijk niet de inwendige raakcirkel.)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.009

Re: Een raakcirkel

De hoekpunten van de driehoek kies ja als (0,0), (a,0) en (0,b). Stel nu de vergelijking op van de rechte door (a,0) en (0,b).

$$y-b= \frac{-bx}{a}$$

Stel x-coördinaat en y-coördinaat gelijk aan elkaar en je kan de coördinaat berekenen van het snijpunt.

$$x=y=\frac{ba}{a+b}$$

En nu ben je er ongeveer.

ps Dat is altijd slim om aan te geven dat het geen huiswerk is of dat het een raadsel is. Op sommige fora krijgen vragen echter soms ten onrechte het label 'homework', ook al ben ik zelf bijvoorbeeld geen student.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Met 'valsspelen' kan het nog sneller.

Neem een niet normaal assenstelsel.
En zo dat de hoekpunten op (1,0) en (0,1) komen te liggen.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.009

Re: Een raakcirkel

Maar hoe ga je dan verder? Je cirkel wordt dan immers een ellips.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

wnvl1 schreef: za 15 jan 2022, 16:45 Maar hoe ga je dan verder? Je cirkel wordt dan immers een ellips.
Het is slechts een ander coördinaten systeem, dat laat de figuren ongemoeid.

Het gevraagde punt op de schuine zijde wordt dan simpel \(( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )\)

Om jouw antwoord te verkrijgen moet er dan een coördinaten transformatie op los worden gelaten.

Het is lineair dus ze zou het met een matrix kunnen doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.009

Re: Een raakcirkel

Dat klopt niet volgens mij, het punt gaat niet (1/2,1/2) zijn omdat de cirkel een ellips wordt. Is wel op te lossen natuurlijk met een ellips, maar is lastiger dan het origineel probleem.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Je ziet het verkeerd, ik doe iets anders dan je denkt.
Je denkt dat het om een transformatie van de tekening gaat, maar die blijft ongemoeid.

Laten we uitgaan van zoals jij begon.

Bij een hoekpunt staat daar A(a,0) in het nieuwe wat ik wil gebruiken wordt dat in het nieuwe systeem A(1,0)n.
Let wel het punt A blijft op zijn plaats maar heeft in het nieuwe systeem wel andere coördinaten.

Zo krijgt ook B(0,b) de nieuwe coördinaten B(0,1)n het punt B blijft dan ook op zijn plaats.

De cirkel blijft daardoor een cirkel, wel is de omschrijving in de nieuwe coördinaten een andere.

Wel is het niet zo dat de lengte eenheden op de assen nu gelijk zijn.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 7.595

Re: Een raakcirkel

tempelier schreef: za 15 jan 2022, 17:32 Het gevraagde punt op de schuine zijde wordt dan simpel \(( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )\)
Als a niet gelijk is aan b dan komt het middelpunt niet halverwege c te liggen, dus dat kan niet juist zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Xilvo schreef: za 15 jan 2022, 18:57
tempelier schreef: za 15 jan 2022, 17:32 Het gevraagde punt op de schuine zijde wordt dan simpel \(( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )\)
Als a niet gelijk is aan b dan komt het middelpunt niet halverwege c te liggen, dus dat kan niet juist zijn.
Er staat ook niet dat het op de helft ligt.
Immers de figuur (0,1) , (1,1) , (1,0) , (0,0) in nieuwe coördinaten is geen vierkant maar slechts een recht hoek.

Als men overgaat op poolcoördinaten verandert de getekende figuur toch ook niet?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 7.595

Re: Een raakcirkel

Ligt (½,0) halverwege (0,0) en (1,0)?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Xilvo schreef: za 15 jan 2022, 19:17 Ligt (½,0) halverwege (0,0) en (1,0)?
Ja en voor de tweede vraag is het ook ja.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 7.595

Re: Een raakcirkel

Dan ligt (½,½) halverwege c.
Dan kan dat punt niet het middelpunt zijn van een cirkel die aan a en b raakt, tenzij a==b.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Je vergeet een ding.
Na mijn nieuwe coördinaten moet er ook een ander soort metriek worden ingevoerd want de natuurlijke werkt van de oude metriek geeft andere waarden..

Bedenk dat de hoek opgespannen in nieuwe coördinaten (1,1) , (0,0) en (1,0) geen 45 graden is.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 7.595

Re: Een raakcirkel

Dat is duidelijk. Je bent het met me eens dat (½,½) halverwege c ligt?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.022

Re: Een raakcirkel

Xilvo schreef: za 15 jan 2022, 19:36 Dat is duidelijk. Je bent het met me eens dat (½,½) halverwege c ligt?
Niet in het nieuwe systeem, ook is het wat je onder halverwege verstaat.
Wat halverwege het ene systeem is, hoeft dat niet in het andere te zijn.

Om dit te verduidelijken:

Als de voor vier punten A , B , C , D geldt: d(A,B) = d(C,D) in een coördinaten systeem X.
Dan hoeft dat in een ander coördinaten systeem Y niet waar te zijn, terwijl het wel over de zelfde punten gaat.

PS.
Ook met hoeken kan er zo worden gerommeld.

Reageer