bewijs

[ukster]

1.png (2.45 KiB) 1313 keer bekeken

driehoek.png (8.39 KiB) 1313 keer bekeken

Van de bewering

2.png (1.66 KiB) 1313 keer bekeken

moet de waarheid middels een bewijs nog worden aangetoond.
Hmm..wel heb ik een bekende driehoek getekend, er wat aan gerekend en…het klopt!
Hoe zou een mooi bewijs eruit kunnen zien?

[RedCat]

Definieer:

\(\angle BCA = \gamma\)

\(\angle ABC = 2\gamma\)

\(BC=3a\)

\(BD=4a\)

\(AB=b\)

\(AD=d\)

dan moeten we bewijzen:

\(opp\; \triangle ABC = \frac{1}{4}(3a)^2 \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{4}(3a)^2 \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}\)

en omdat dit oppervlak gelijk is aan 1/2 * basis * hoogte:

\(opp\; \triangle ABC = \frac{1}{2}(3a)h\)

zijn we klaar als we bewijzen dat:

\(h = \frac{1}{2}(3a) \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}\)

Eerst werken we theta weg:
Sinusregel in driehoek ABD:

\(\frac{\sin \theta}{4a} = \frac{\sin 2\gamma}{d} = \frac{h/b}{d}\)

dus

\(\sin \theta = \frac{4ah}{bd}\)

Cosinusregel in driehoek ABD:

\((4a)^2 = b^2+d^2-2bd\cos \theta\)

dus

\(\cos \theta = \frac{b^2+d^2-(4a)^2}{2bd}\)

Waardoor we nog moeten bewijzen:

\(h = \frac{3}{2}a \frac{\frac{4ah}{bd}}{1-\frac{b^2+d^2-(4a)^2}{2bd}}\)

ofwel

\(h = \frac{3}{2}a \frac{8ah}{2bd-b^2-d^2+(4a)^2}\)

ofwel

\(1 = \frac{12a^2}{2bd-b^2-d^2+(4a)^2}\)

ofwel

\(16a^2 - d^2 + 2bd - b^2 = 12a^2\)

ofwel

\(4a^2 = d^2 - 2bd + b^2 = (d-b)^2\)

en omdat a>0 en d>b hebben we nog te bewijzen:

\(2a = d - b\)

Bewijs 2a = d - b:
In het rooster van bovenstaand plaatje ligt driehoek ABC vast als a en gamma gegeven zijn:
De lijn l door A en B wordt gegeven door:

\(l:\; y=x \tan 2\gamma\)

en de lijn m door A en C door:

\(m: \; y=(-\tan \gamma) \cdot x + 3a\tan \gamma\)

Het snijpunt van l en m levert A, oplossen naar y geeft:

\(h = y_A = a\frac{6\tan \gamma}{3 - \tan^2 \gamma} = a \frac{3 \sin 2\gamma}{(2\cos 2\gamma)+1}\)

met

\(\sin 2\gamma = \frac{h}{b} \)

en via de cosinusregel in driehoek ABD:

\(\cos 2\gamma = \frac{(4a)^2+b^2-d^2}{8ab}\)

Samengenomen leveren de laatste 3 gelijkheden op:

\(h = a \frac{3 h/b}{2\frac{(4a)^2+b^2-d^2}{8ab}+1}\)

ofwel

\(h = a \frac{12 ah}{(4a)^2+b^2-d^2+4ab}\)

ofwel

\((4a)^2+b^2-d^2+4ab = 12 a^2\)

ofwel

\(4a^2+b^2-d^2+4ab = 0\)

ofwel

\((2a+b)^2=d^2\)

ofwel (alles is positief):

\(2a+b=d\)

ofwel

\(2a=d-b\)

hetgeen te bewijzen was.

[ukster]

Petje af!
Dit is dus hoe een mooi bewijs eruit ziet
Dankzij jouw duidelijke aanpak heb ik alle stappen kunnen volgen..
ik ben zelf al een tijdje bezig geweest met deze opgave maar zag geen kans het bewijs te leveren.
En dan te bedenken dat er wellicht nog meer mooie bewijzen voor zijn.

[Xilvo]

Petje af!

Mijn petje ook!

[ukster]

Bij RedCat bespeur ik altijd een soort van vanzelfsprekend onderliggend logisch masterplan naar de uiteindelijke bewijsvoering! Dat getuigt van vergaand inzicht. dat gaat toch even verder dan mijn kwaliteiten toelaten