zomaar

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 875

zomaar

Iets voor op een hete zomerdag zoals vandaag (zie bijlage)
Bijlagen
DSCN0012.JPG

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.134

Re: zomaar

Als ik het goed lees staat er
$$x+\frac{1}{y}=4$$
en
$$y+\frac{1}{x}=\cos^2{9°}=\cos^2{\frac{\pi}{20}}$$

Dan zijn er volgens mij geen reële oplossingen voor x en y en wordt de uiteindelijke vorm bijzonder groot.

Gebruikersavatar
Berichten: 875

Re: zomaar

9 graad is wel pi/20

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.134

Re: zomaar

Je hebt gelijk. Ik heb het verbeterd. Maar dat verandert niet wat ik verder schreef.

Gebruikersavatar
Berichten: 875

Re: zomaar

het gaat hem eerder om de som in de laatste lijn met de machten 2022

Berichten: 391

Re: zomaar

Definieer:
\(c=\cos(9^o)\)
\(s=\sin(9^o)\)
Substitueer
\(x=4-\frac{1}{y}\)
in de tweede formule.
De abc-formule geeft dan voor y:
\(y=\frac{c^2 \; \pm \; c\cdot \sqrt{c^2-1}}{2} = \frac{1}{2}c(c \pm i\cdot s)\)
en dus voor bijbehorende x:
\(x=4-\frac{1}{\frac{1}{2}c(c \pm i\cdot s)}=4-\frac{2}{c(c \pm i\cdot s)}=\)
\(=\frac{2}{c}\cdot \left(2c-\frac{1}{c \; \pm \; i\cdot s}\right)=\frac{2}{c}\cdot \left(2c-\frac{c \; \mp \; i\cdot s}{c^2 \; + \; s^2}\right)=\frac{2}{c}(c \; \pm \; i\cdot s)\)
Hierdoor is:
\(xy = (c \; \pm \; i\cdot s)^2 = \left( e^{\pm i\cdot \pi/20}\right)^2=e^{\pm i\cdot \pi/10}\)
en
\(xy^{2022} = e^{\pm i\cdot \frac{\pi \cdot (2020 + 2)}{10}} \)
en wegens periodiciteit 2π:
\(xy^{2022} = e^{\pm i\cdot \pi / 5} \)
waardoor
\(xy^{-2022} = e^{\mp i\cdot \pi / 5} \)
en dus
\(xy^{2022} + xy^{-2022} = e^{\pm i\cdot \pi / 5} + e^{\mp i\cdot \pi / 5}=\)
\(=\cos 36^o \pm i \; \sin{36^o} + \cos 36^o \mp i \; \sin{36^o} = 2\cos 36^o\)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.134

Re: zomaar

@RedCat
Helemaal mee eens. Maar er wordt toch naar
$$(xxy)^{2022}+\frac{1}{(xxy)^{2022}}$$
gevraagd?

Gebruikersavatar
Berichten: 875

Re: zomaar

is phi

Berichten: 391

Re: zomaar

De x en × lijken inderdaad op elkaar, maar volgens mij staat er:
\((x\times y)^{2022}+\frac{1}{(x\times y)^{2022}}\)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.134

Re: zomaar

RedCat schreef: za 13 aug 2022, 18:50 De x en × lijken inderdaad op elkaar, maar volgens mij staat er:
\((x\times y)^{2022}+\frac{1}{(x\times y)^{2022}}\)
Nu je het zegt...
En ik was al blij dat ik erachter kwam dat wat ik eerst las als \((os^2 9^0\) stond voor \(\cos^2 9°\)

Het is meestal een stuk duidelijk als LaTex gebruikt wordt.

Berichten: 391

Re: zomaar

Rik Speybrouck schreef: za 13 aug 2022, 18:48 is phi
https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede
Die link had ik nog niet gelegd.
Leuke opgave !

Reageer