2 cirkels [2]

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 397

2 cirkels [2]

apolloniusLPP.png
apolloniusLPP.png (9.18 KiB) 1025 keer bekeken

Gegeven:
Punten C en D en lijn L
Cirkel P gaat door C en D, en raakt L in punt A
Cirkel Q gaat door C en D, en raakt L in punt B
(de LijnPuntPunt variant (LPP) van het raakprobleem van Apollonius, zie bijvoorbeeld https://en.wikipedia.org/wiki/Problem_o ... cial_cases).

Bewijs
\(\small \angle BAC = \angle ADC\)
en
\(\small \angle ABC = \angle BDC\)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.062

Re: 2 cirkels [2]

voor het bewijs α=β ben ik uitgegaan van de door Rik Speybrouck genoemde voorwaarde:punt D, middelpunt cirkel Q en punt B zijn collineair.
bewijs alpha=beta.png
bewijs alpha=beta.png (8.74 KiB) 987 keer bekeken
Uit mijn eerdere post volgt de relatie van de lijnstukken AD,CD,AC,AB en BC met de cirkel stralen r en R
bewijs1.png
bewijs1.png (9.03 KiB) 987 keer bekeken

Berichten: 397

Re: 2 cirkels [2]

ukster schreef: vr 09 sep 2022, 13:33 voor het bewijs α=β ben ik uitgegaan van de door Rik Speybrouck genoemde voorwaarde:punt D, middelpunt cirkel Q en punt B zijn collineair.
Ik zoek echter de algemene situatie, dus ook als het middelpunt Q niet op BD ligt.

Het punt is dat we dan een erg snelle oplossing hebben voor
viewtopic.php?f=73&t=213868:
Je had in jouw bewijs voor dat probleem al (met jouw definities):
\(\small BE = 2r\)
\(\small AB = 2\sqrt{r(R-r)}\)
en dan hebben we direct:
\(\small \cos^2(\gamma) = \cos^2(180^\circ-\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha+\beta)=\cos^2 \angle AEB =\)
\(\small = \frac{BE^2}{AE^2} = \frac{BE^2}{AB^2+BE^2}=\frac{4r^2}{4r(R-r)+4r^2}=\frac{r}{R}\)

In mijn voorbeeld, het plaatje hierboven is
L = de x-as
C = (6, 1)
D = (9, 6)
en kom ik uit op
P = (2.54342863, 6.47394282)
Q = (8.25657137, 3.04605718)
en
∠BAC = ∠ADC = 16.13536903º
∠ABC = ∠BDC = 23.90053505º
(maar met jouw formule hierboven zou α = 18.74855354º zijn)

Alleen zoek ik nu nog het bewijs voor de algemene situatie...

Gebruikersavatar
Berichten: 875

Re: 2 cirkels [2]

hierbij een voorstel tot oplossing
Bijlagen
DSCN0038.JPG

Berichten: 397

Re: 2 cirkels [2]

Mooie constructie!

Gebruikersavatar
Berichten: 304

Re: 2 cirkels [2]

Oplossing.jpg
In cirkel P zitten 3 koorden waarvan de hoeken 2 aan 2 gelijk zijn. Dit betekent dat in ACD theta+gamma=pi/2.
Als de hoek PAB recht is geldt dat ook voor theta'+gamma=pi/2. In dat geval zijn theta en theta' aan elkaar gelijk.

Dezelfde redenering geldt voor de andere cirkel ook.

Excuses dat de foto op zijn kant staat. Bij het uploaden werd de foto telkens weer op zijn kant gezet.

Reageer