[wiskunde] Bepalen snijlijn van 2 oppervlakken.

[aadkr]

De eenheidscircel

\(x^2+y^2+z^2=1\)

en het platte vlak

\(x+y+z=0\)

snijden elkaar , en de snijlijn is een circel met straal=1.

Gevraagd:

Bepaal de parametervoorstelling van de kromme:

Dus:

\(\vec{r_t}=X(t)\hat{i}+Y(t)\hat{j}+Z(t)\hat{k}\)

[nitrobeem]

Eenheidsbol bedoel je waarschijnlijk.

De algemene methode om zoiets op te lossen is om een van de oppervlakken in parametervoorstelling te schrijven, en die parametervergelijkingen voor x y en z dan te substitueren in het ander oppervlak om zo een van de 2 parameters te elimineren.

In jouw voorbeeld: schrijf de bol als

\(\left[\cos(\theta)\cos(\phi),\cos(\theta)\sin(\phi),\sin(\theta)\right]\)

met

\(\theta\in [-\pi,\pi],\phi\in[0,2\pi[\)

. Vul dit in in de andere vergelijking:

\(\cos(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi)+\sin(\theta)=0\)

, waaruit

\(\theta=-\arctan(\cos(\phi)+\sin(\phi))\)

.

Dit vul je in in de oorspronkelijke parametervoorstelling, wetende dat

\(\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

en

\(\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

[phi hung]

\(x = \sqrt(1-z^2) \cos(t) = \sqrt(1-(-x-y)^2) \cos(t) = (1-x^2-2xy-y^2) \cos(t)\)

\(y = \sqrt(1-z^2) \sin(t) = x \tan(t)\)

\(x = \sqrt(1-z^2) \cos(t) = \sqrt(1-(-x-y)^2) \cos(t) = (1-x^2-2x^2 \tan(t)-x^2 \tan^2(t)) \cos(t)\)

En nu nog verder...

[kotje]

Volgens mij is de kromme een cirkel met straal 1 gelegen in het vlak bepaalt door de rechten x+y=0 z=0; z+y=0 x=0.

De parametervgl wordt dan ( denk ik):

\((-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{t})\mbox{i}+(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{t})\mbox{j}+(\cos{t})\mbox{k} 0\leq\mbox{t}\leq<2\pi\)

[eendavid]

ik heb dat probleem toch opgelost in het topic waar het opdook? Begrijp dan ook niet goed dat je het opnieuw vraagt.

een niet al te elegante methode om de PV te vinden is iets voorstellen van de vorm  

\((A_1\cos(\phi),A_2\cos(\phi)+B_2\sin(\phi),-(A_1+A_2)\cos(\phi)-B_2\sin(\phi))\)

 

wat zeker in het genoemde vlak ligt. Eis nu dat de norm 1 is, dan bekom je de PV:

\((\sqrt{\frac{2}{3}}\cos(\phi),-\frac{1}{\sqrt{6}}\cos(\phi)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\phi),-\frac{1}{\sqrt{6}}\cos(\phi)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\phi))\)

NB: waarmee ik niet wil zeggen dat nitrobeem's oplossing fout is.

[phi hung]

Ik denk dat ik een goede parametervoostelling heb gevonden:



x+y+z=0

\(z = -x-y\)

x ligt op de eenheidsbol

\(x = \cos{t}\sqrt{1-z^2} = \cos{t}\sqrt{1-(-x-y)^2} = \cos{t}\sqrt{1-(x+y)^2}\)

y ligt op de eenheidsbol

\(y = \sin{t}\sqrt{1-z^2} = x\cdot \tan{t}\)

Substitueren

\(x = \cos{t}\sqrt{1-(x+x\tan{t})^2}\)

Kwadrateren

\(x^2 = \cos^2{t}\cdot (1-(x+x\tan{t})^2)\)

Oplossen en vereenvoudigen

\(x^2 = \frac{\cos^2{t}}{1+\cos^2{t}\cdot(1+\tan{t})^2} = \frac{\cos^2{t}}{2+\sin{2t}}\)

Parametervoorstelling

\(x = \frac{\cos{t}}{\sqrt{2+\sin{2t}}}\)

\(y = \frac{\sin{t}}{\sqrt{2+\sin{2t}}}\)

\(z = \frac{-\sin{t}-\cos{t}}{\sqrt{2+\sin{2t}}}\)

\((x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{2+\sin{2t}}}(\cos{t}, \sin{t}, -\sin{t}-\cos{t})\)

[aadkr]

Phi hung,

Wil je nog eens uitleggen hoe je aan die formule komt na "Oplossen en vereenvoudigen". Dat snap ik niet.

Nu begrijp ik het. Razend knap gevonden.

[phi hung]

Ja, ik heb voor de overzichtelijkheid een aantal stappen overgeslagen bij het oplossen en vereenvoudigen.

Het oplossen gaat zo:

\(x^2 = \cos^2{t}\cdot (1-(x+x\tan{t})^2)\)

\(x^2 = \cos^2{t}-\cos^2{t}\cdot(1+1\tan{t})^2\cdot x^2\)

\((1+\cos^2{t}\cdot(1+\tan{t})^2)\cdot x^2 = \cos^2{t}\)

\(x^2 = \frac{\cos^2{t}}{1+\cos^2{t}\cdot(1+\tan{t})^2}\)

Dit is wat ik heb gedaan bij het vereenvoudigen van de noemer:

\(1+\cos^2{t}\cdot(1+\tan{t})^2 = \)

(1+tan t) kwadrateren

\(= 1+\cos^2{t}\cdot(1+2\tan{t}+\tan^2{t}) =\)

haakjes wegwerken

\(= 1 + \cos^2{t} + 2\cos^2{t}\cdot\tan{t} + \cos^2{t}\tan^2{t} =\)

tan(t) = sin(t)/cos(t) gebruiken

\(= 1 + \cos^2{t} + 2\sin{t}\cos{t} + \sin^2{t} =\)

som van de kwadraten van sinus en cosinus is 1

\(= 2 + 2\sin{t}\cos{t} =\)

de sinus van de dubbele hoek is tweemaal het product van de sinus en de cosinus

\(= 2 + \sin{2t} \)

[aadkr]

Ik heb geprobeerd om met x=f1(t) y=f2(t) en z=f3(t) de lijnintegraal van Phys te berekenen, maar dan krijg ik zulke lange formules, dat de moed me dan in de schoenen zinkt.

\(\int_C x^2 \parallel \frac{d\vec{r}}{dt}\parallel dt\)

\(\vec{r_t}=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}\)

\(\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}\)

Dan de absolute lengte bepalen van dr/dt

[phi hung]

Ik moet zeggen dat ik de notatie \(\vec{r_t}=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}\) niet ken. Wat zijn de \(\hat{i}, \hat{j}\) en \(\hat{k}\)?

[Phys]

Dat zijn de eenheidsvectoren.

Dus elk lengte 1 en elk loodrecht op elkaar.

[TD]

Wat zijn de \(\hat{i}, \hat{j}\) en \(\hat{k}\)?

Zie hierboven, aanvulling: in die volgorde voor respectievelijk de richtingen x,y,z.

Je kan ze ook binnen haakjes als vector noteren, dit is dus allemaal hetzelfde:

\(\left( {a,b,c} \right) = a\hat i + b\hat j + c\hat k = a\vec 1_x + b\vec 1_y + c\vec 1_z \)

[phi hung]

Bedankt voor de uitleg, Phys en TD!

Ik heb nog een andere manier gevonden om een parametervoorstelling te vinden voor deze snijcirkel:

x+y+z=0

\((x,y,z) = c\cdot(-\cos{t},-\sin{t},\sin{t}+\cos{t})\)

x²+y²+z²=1

\((-\cos{t})^2 + (-\sin{t})^2 + (\sin{t}+\cos{t})^2 = 2 + \sin{2t}\)

\(c = \sqrt{2 + \sin{2t}}\)