Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 2.589

Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Ik heb hier een boekje over mechanica liggen waarin men zogenaamde irrotational or lamellar fields beschouwt kortom komt erop neer dat zo'n veld onafhankelijk is van de tijd.

Men heeft vroeger reeds de kinetische enegie gedefineerd als: F*dx=dT

de potentieele energie als F(r,t)*dr=-dV(r,t) waar t=ct

dan komt men in dergerlijke velden met volgende vergelijking af:
\(\frac{d}{dt}(T+V)=\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}\)
waaruit dan moet volgen:
\(=F*\dot{r} + \nabla V*dr +\frac{\partial V}{\partial t} \)
waarin die F en r dot vectoren zijn en ik dus twee scalairen producten heb.

verder zal dan die laatste vergelijking gelijk zijn aan:
\(=\frac{\partial V}{\partial t} \)
Wie weet hoe men van de eerste naar de tweede vergelijking kan gaan? en dan naar de derde?

Groeten Dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Om een begin te maken met de oplossing van deze vraag.

Hier is sprake van een vectorveld.

Vectorvelden worden beschreven door een vectorveldfunktie van de vorm:
\(\vec{F}(x,y,z)=M(x,y,z).\hat{i}+N(x,y,z).\hat{j}+P(x,y,z).\hat{k}\)
Met:
\(M(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\)
\(N(x,y,z)=f_{2}(x,y,z)\)
\(P(x,y,z)=f_{3}(x,y,z)\)
\(\hat{i} , \hat{j} , \hat{k} \)
zijn de eenheidsvectoren langs de x - de y - en de z-as.

De hoofdletter F betekend Field . Hoeft dus niet perse een kracht te zijn.

Het veld is irrotational.

Dit betekend dat de Rotatie (de curl) van het vectorveld nul is.
\(Curl \vec{F}(x,y,z)=0\)
Definitie van de Curl van een vectorveld:

Zij gegeven:
\(\vec{F}(x,y,z)=M.\hat{i}+N.\hat{j}+P.\hat{k}\)
is een vectorveld zodanig dat de eerste partiele afgeleiden van M , N, en P allemaal bestaan.

Dan is de Curl van
\(\vec{F}\)
Hetwelk genoteerd wordt als
\(Curl \vec{F}(x,y,z) of \nabla \times \vec{F}(x,y,z)\)
\(=\left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial z}\right).\hat{i}+\left( \frac{\partial M}{\partial z} - \frac{\partial P}{\partial x}\right).\hat{j}+\left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right).\hat{k}\)
Ook een vectorveld met een curl ongelijk aan nul kan tijdonafhankelijk zijn.

De curl van een vectorveld is zelf ook weer een vectorveld.

Berichten: 2.589

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

mss word het zo duidelijker:

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Als
\(\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\)
voor elke gesloten georienteerde curve in de R(3), dan bestaat er een scalaire funktie f , zodanig dat
\(\vec{F}= - grad f \)
Met andere woorden:
\(\vec{F}\)
is conservatief. En ook geldt dan :
\(\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}\)
is onafhankelijk van het gekozen pad.

En ook geldt dan dat
\(Curl \vec{F}=0\)
Dit laatste volgt weer uit
\(Curl (grad f )=0\)

\(\frac{d}{dt}f\left( x(t),y(t),z(t) \right)=\frac{\partial f}{\partial x}.\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}.\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}.\frac{dz}{dt}\)
\(=\left( \frac{\partial f}{\partial x}.\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}.\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}.\hat{k} \right) \cdot \)
\(\left( \frac{dx}{dt}.\hat{i}+\frac{dy}{dt}.\hat{j}+\frac{dz}{dt}.\hat{k}\right)\)
\(=[ grad f \left( x(t),y(t),z(t) \right) ]\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\)
Dus geldt:
\(\frac{d}{dt} f\left( x(t),y(t),z(t) \right) =[ grad f\left( x(t),y(t),z(t) \right) ]\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Stel dat een voorwerp onder invloed van een continue kracht beweegt langs een curve(' smooth curve"") met parametervergelijking:
\(\vec{r}(t)=x(t).\hat{i}+y(t).\hat{j}+z(t).\hat{k} voor aseq t seq b\)
\(\vec{F}\left( x(t),y(t),z(t) \right) = m.\vec{a}(t)=m.\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\)
De arbeid W , door de kracht F uitgeoefend op het voorwerp is:
\(W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}m.\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} .dt \)
\(=\frac{m}{2}\int_{a}^{b}\frac{d}{dt} [\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} ].dt=\frac{m}{2}\int_{a}^{b}\frac{d}{dt} \parallel \frac{d\vec{r}}{dt} \parallel^2 .dt\)
\(W=\frac{m}{2}. \parallel \frac{d\vec{r}}{dt}(t=b) \parallel^2 - \frac{m}{2} \parallel \frac{d\vec{r}}{dt}(t=a) \parallel ^2\)

\(\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2} \parallel \frac{d\vec{r}}{dt} \parallel ^2 + f \right) =\frac{d}{dt} \left( \frac{m}{2} .\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} +f \right) \)
\(=m.\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}+ [ grad f ]\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(=[ m.\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} - \vec{F} ]\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(=o\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} =0 \)
Dus:
\( \frac{m}{2} \parallel \frac{d\vec{r}}{dt} \parallel ^2 + f =Cons\tant\)

Berichten: 2.589

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

je berekent het pakketje energie in de twee gevallen dus 1)het te leveren 2) het geen waarvan we last hebben in het veld.

Of nog potentieele en kinetische energie?

En je laat dan zien dat beide constant zijn. als
\(\vec{F}*\vec{\dot{r}}\)
de kinetische energie is en
\( \nabla V *\vec{\dot{r}} \)
de kinetische energie waarvoor staat dan die
\(\frac{\partial V}{\partial t}\)
? zomaar een integratie constante?

Groeten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

f=V
\(\frac{d}{dt}f\left( x(t),y(t),z(t) \right)=\frac{dV}{dt}\)
\(\frac{dV}{dt} wordt ook wel \frac{dU}{dt} genoemd.\)
De scalaire funktie f wordt in een conservatief vectorveld (krachtenveld) de potentiele energiefunktie genoemd.
\(\vec{F}= - grad f \)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Nog even een aanvulling.op je vragen.

Vector F (puntprodukt) dr/dt kan nooit kinetische energie zijn. F . v is vermogen.
\(dE_{K\in}=\vec{F}\cdot d\vec{r}=\vec{F}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}.dt\)
\(\nabla V\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=- \vec{F}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\)

Berichten: 2.589

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Ja, ik begrijp ongeveer je bedoelingen en waar het op neer moet komen. Feit is volgens mij wel dat men hier in dit boek veel verzwijgt, maar met jouw aanwijzingen begint het te lukken.

Bedankt. Groeten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.761

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Ik vind het boek niet zo duidelijk.

Er is nogal wat voorkennis nodig, om het boek te kunnen volgen.

De afleiding komt uit het boek: Calculus with analytic Geometry

van Robert Ellis/ Denny Gulick Uitgeverij: Saunders College Publishing.

Berichten: 2.589

Re: Vectorvelden onafhankelijk van tijd.

Allé ben dan toch niet de enigste die vindt dat het boekje wat kort door de bocht gaat. Maar kom begrijp het ongeveer. Bedankt.

Reageer