Moderators: dirkwb, Xilvo
-
- Berichten: 3.330
Zij
\(P=\left ( \begin{array}{cc} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4} \end{array} \right)\)
Dan
\(P^2=\left ( \begin{array}{cc} \frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{5}{16}&\frac{11}{16} \end{array} \right)\)
Bewijs
\(\lim_{n\rightarrow\infty}{P^n}=\left ( \begin{array}{cc} \frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{2} \end{array} \right)\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
Merk op dat
\(P\left(\begin{array}{cc} 1\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\\1\end{array}\right) \)
Dus zal
\(P^n\left(\begin{array}{cc} 1\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\\1\end{array}\right) \)
voor elke n en dus ook voor de limiet naar oneindig.
Dat is niet het geval met de door jou gegeven limiet,
dus is je bewering onjuist.
-
Je kunt het om meerdere manieren doen, bijvoorbeeld door eigenwaardedecompositie of met markovketentheorie,
maar het kan ook met volledige inductie.
Je kunt met V.I. aantonen dat
\(P^n=\left ( \begin{array}{cc} \frac{2\cdot 4^n+1}{3\cdot 4^n}&\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}\\\frac{4^n-1}{3\cdot 2^{2n+1}}&\frac{4^n+1}{3\cdot 2^{2n+1}} \end{array} \right)\)
Bericht
13-03-'07, 17:59
TD
-
- Berichten: 24.578
De eigenwaardeontbinding en macht:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{4}} & {\frac{3}{4}} \\\end{array}} \right)^n = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & {\frac{1}{4}} \\\end{array}} \right)^n \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right)^{ - 1} \)
Voor n naar oneindig gaat de diagonaal matrix alleen de 1 overhouden:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right)^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1}{3}} & {\frac{2}{3}} \\ {\frac{1}{3}} & {\frac{2}{3}} \\\end{array}} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.068
PeterPan schreef:Je kunt met V.I. aantonen dat
\(P^n=\left ( \begin{array}{cc} \frac{2\cdot 4^n+1}{3\cdot 4^n}&\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}\\\frac{4^n-1}{3\cdot 2^{2n+1}}&\frac{4^n+1}{3\cdot 2^{2n+1}} \end{array} \right)\)
Ergens is er hier iets misgegaan. De limieten van deze termen convergeren niet naar het aan te tonen antwoord (en dat antwoord is goed).
-
Dat weet/wist ik, maar ik was te lui om het te corrigeren. Dus doe ik dat nu maar. Het moet zijn
\(P^n=\left ( \begin{array}{cc} \frac{4^n+2}{3\cdot 4^n}&\frac{2(4^n-1)}{3\cdot 4^n}\\\frac{4^n-1}{3\cdot 4^n}&\frac{2\cdot 4^n+1}{3\cdot 4^n} \end{array} \right)\)
