Populatiegrootte

[raintjah]

Hoi,

ik zit in de knoop met een vraagstuk ivm de studentenpopulatie in een bepaalde richting.

De matrix B is een kolommatrix met de gegevens van de populatie op tijdstip nul. De matrix A is de coëfficiëntenmatrix.

Dus, de populatie op t0 = A. De populatie op t1=AB, t2=A²B,... Dat is allemaal geen probleem. Nu komt er echter nog een matrix C bij die ik niet goed kan plaatsen. C is een matrix die jaarlijks een bepaald aantal leden toevoegd aan de populatie.

De populuatie op T0 = A, t1 = AB + C, t2= A*t1+C ...

Nu moet ik de populatie zoeken op lange termijn, maar ik weet niet goed hoe ik dat precies met die C moet doen.

Ik moet dus de populatie op tijdstip n (n natuurlijk) kennen.

Zonder die matrix C zou het simpel zijn: tn = A^n*B , maar hoe doe ik het met de C?

Alvast bedankt!

PS: het moet opgelost worden aan de hand van eigenwaarden. Dus liefst nie met rijen beginnen werken. Ik had al gedacht aan een differentievgl, maar dat moet hier niet denk ik.

[PeterPan]

In de eerste plaats is t0=B.

Neem even aan dat B=0.

Dan wordt

\(t0=0, t1=C, t2=AC+C, t3=A^2C+AC+C\)

en

\(t_n = (\sum_{k=0}^{n-1} A^k)C\)

en als

\(B\neq 0\)

\(t_n = A^n B + (\sum_{k=0}^{n-1} A^k)C\)

[raintjah]

Maar dan doet zich het volgende probleem voor:

Stel dat n = 100, dan moet je een som maken van A^1...+A^50+...+A^99. Hoe ga je dat dan doen? Zonder omslachtig te werk te gaan...

[PeterPan]

\(A^{n-1} +A^{n-2} + \cdots + A + I = (I-A)^{-1}(I-A^n)\)

[raintjah]

Achja, aan die regel had ik nog niet gedacht!

Thx!