Eigenwaarden berekenen van matrix

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Eigenwaarden berekenen van matrix

Hoi,

ik zoek de eigenwaarden van deze (stochastische) matrix:
\(P=\left( \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \end{array} \right)\)
Hiervoor moet ik dus zoeken voor welke lambda's geldt:
\(det\left( \begin{array}{ccc} 1/2-\lambda & 1/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/4-\lambda & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4-\lambda \end{array} \right)=0\)
Dan kan je gaan rekenen met derdegraadsvgl enzo, maar ik zoek eigenlijk een elegantere oplossing, omdat die rekenmethode omslachtig wordt. Ik weet wel dat je zo uiteindelijk ook aan de oplossing komt hoor, maar ik zou graag weten of er voor deze matrox een elegantere oplossingsmethode bestaat.

Alvast bedankt!

stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Je kan met eigenschappen van determinanten wat nullen maken, dan ontwikkelen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Ik had dit ook al geprobeerd:
\(64\cdot det\left( \begin{array}{ccc} 2-4\lambda & 1 & 2 \\ 1 & 1-4\lambda & 1 \\ 1 & 2 & 1-4\lambda \end{array} \right)=0 \Leftrightarrow det\left( \begin{array}{ccc} 2-4\lambda & 1 & 2 \\ 1 & 1-4\lambda & 1 \\ 1 & 2 & 1-4\lambda \end{array} \right)=0\)
Maar als je dan uitwerkt kom je op lambda's groter dan nul uit denk ik. En dat kan toch nie voor stochastische matrices?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Of je matrix correct is, weet ik niet, maar de eigenwaarden zijn 0,0,1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Ja.. Dat klopt.

Er zijn 2 dezelfde eigenwaarden.. Dus er zijn maar 2 eigenvectoren. De matrix is dus niet diagonaliseerbaar, omdat de eigenvectoren geen basis vormen van de [rr] ³. Klopt die conclusie?

Verder: hoe heb je dat nu berekend? Met een programma, of uitgewerkt?

Alvast bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Er zijn 2 dezelfde eigenwaarden.. Dus er zijn maar 2 eigenvectoren. De matrix is dus niet diagonaliseerbaar, omdat de eigenvectoren geen basis vormen van de [rr] ³. Klopt die conclusie?
Die conclusie klopt voor dit geval, maar in het algemeen kan je uit een dubbele eigenwaarde nog niet besluiten dat er een eigenvector te kort is en dat de matrix dus niet diagonaliseerbaar is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Wanneer je twee dezelfde eigenwaarden vindt, kan je de bijhoren eigenvector berekenen. Die berekening gebeurt toch altijd hetzelfde? Dus bekom je toch ook dezelfde eigenvector?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

idd
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

idd


Dan begrijp ik de opmerking van TD! niet.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

euhm, ik moet ook passen bij deze opmerking (te lang geleden die cursus)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

1-ste kolom = 3-de kolom, dus determinant = 0.

Het spoor is 1

en de 3 2 bij 2 submatrices zijn samen 0,

dus de eigenwaardevergelijking is
\(\lambda^3 - \lambda^2 = 0\)


De eigenwaardevergelijking is i.h.a.
\(\lambda^3 - trace \lambda^2 + (som - 2x2 - submatrices) \lambda + determinant = 0\)

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Herstel
\(\lambda^3 - trace \lambda^2 + (som - 2x2 - submatrices) \lambda - determinant = 0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Wanneer je twee dezelfde eigenwaarden vindt, kan je de bijhoren eigenvector berekenen. Die berekening gebeurt toch altijd hetzelfde? Dus bekom je toch ook dezelfde eigenvector?
Je kan bij een dubbele eigenwaarde, ook twee lineair onafhankelijke eigenvectoren vinden.

Er geldt sowieso am >= mm, am = algebraïsche multipliciteit en mm = meetkundige multipliciteit.

Jij lijkt te denken dat de mm altijd gelijk is aan 1, dat klopt niet, het kan maximaal am zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

PeterPan schreef:1-ste kolom = 3-de kolom, dus determinant = 0.

Het spoor is 1

en de 3 2 bij 2 submatrices zijn samen 0,

dus de eigenwaardevergelijking is
\(\lambda^3 - \lambda^2 = 0\)
Je kan bij een dubbele eigenwaarde, ook twee lineair onafhankelijke eigenvectoren vinden.

Er geldt sowieso am >= mm, am = algebraïsche multipliciteit en mm = meetkundige multipliciteit.

Jij lijkt te denken dat de mm altijd gelijk is aan 1, dat klopt niet, het kan maximaal am zijn.


Jullie beginnen termen naar mijn hoofd te gooien die ik nog niet beheers/gezien heb.

Wat wordt verstaan onder Trace?

En am of mm heb ik ook nog nooit gezien..
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Wat wordt verstaan onder Trace?
trace is het Engelse woord voor spoor.

Het spoor is de som van de diagonaalelementen.

Reageer