Eigenwaarden berekenen van matrix

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 2.589

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Je kan bij een dubbele eigenwaarde, ook twee lineair onafhankelijke eigenvectoren vinden.


Voorbeeld? ik meende wel dat indien eigenwaarden verschillend zijn je zeker kon diagonaliseren of het een equivalentie is weet ik niet meer.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

En am of mm heb ik ook nog nooit gezien..
Als een eigenwaarde meervoudig is, bijvoorbeeld van graad k, dan is de algebraïsche multipliciteit (am) gelijk aan k. De meetkundige multipliciteit (mm), die maximaal gelijk kan zijn aan de am, is de dimensie van de eigenruimte horend bij die eigenwaarde. Dit komt dus ook overeen met het aantal lineair onafhankelijke eigenvectoren (want die spannen de eigenruimte op) horend bij die eigenwaarde.
Voorbeeld? ik meende wel dat indien eigenwaarden verschillend zijn je zeker kon diagonaliseren of het een equivalentie is weet ik niet meer.
Bij verschillende eigenwaarden, horen lineair onafhankelijke eigenvectoren, dat klopt, omgekeerd niet noodzakelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

even voor de duidelijkheid:

deze matrix is gediagonaliseerd en heeft een dubbele eigenwaarde
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\)
deze matrix daarentegen is niet verder diagonaliseerbaar
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\)
de algebraïsche multipliciteit (hoe vaak treedt een eigenwaarde op in de karakteristieke vergelijking) van 1 is bij beiden 2.

de meetkundige multipliciteit (de dimensie van de eigenruimte horend bij een eigenwaarde) van 1 is 2 bij de eerste, maar 1 bij de tweede

Gebruikersavatar
Berichten: 24.547

Re: Eigenwaarden berekenen van matrix

Zie ook hier en hier voor uitleg & voorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer