[lineaire algebra] matrixsingulariteit + definiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Moderator
Berichten: 4.212

[lineaire algebra] matrixsingulariteit + definiet

Afbeelding

Kan iemand mij helpen? det(I-AB) correspondeert met (I-AB)x=0, oké? Schijnbaar moet ik gebruikmaken van het gegeven dat A+A*>0 en B+B*[kleinergelijk]0 maar ik zie niet hoe? De ster betekent complex geconjugeerd en getransponeerd.
Quitters never win and winners never quit.

Re: [lineaire algebra] matrixsingulariteit + definiet

Stel dus dat
\((AB-I)x_1=0\)
voor zekere
\(x_1 \neq 0\)
.

dan is
\(ABx_1 = x_1\)
en
\(x_{1}^{*}B^{*}A^{*} = x_{1}^{*}\)

\(y^{*}(A+A^{*})y > 0\)
voor elke
\(y \neq 0\)
, dus ook voor
\(y = Bx_1\)
.

Dat levert:
\(0 < x_{1}^{*}B^{*}(A + A^{*})Bx_1 = x_{1}^{*}B^{*}ABx_1 + x_{1}^{*}B^{*}A^{*}Bx_1 = \)
\(x_{1}^{*}B^{*}x_1 + x_{1}^{*}Bx_1 = x_{1}^{*}(B^{*}+ B)x_1 \leq 0\)
Conflict, want 0 is niet kleiner dan 0.

Dus als
\((AB-I)x_1=0\)
, dan is
\(x_1=0\)

Moderator
Berichten: 4.212

Re: [lineaire algebra] matrixsingulariteit + definiet

Wauw! bedankt!
Quitters never win and winners never quit.

Reageer