Ik zette de matrix
\( \left( \startmatrix 2 & 3 & 0 & 1 & 6 \\ 4 & 0 & 2 & 1 & 8 \\ 2 & 6 & -1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & -1 & 3 & 13 \endmatrix \right)\)
om in zijn normale echelonvorm: \( \left( \startmatrix 2 & 3 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & -12 & 4 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -12 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix \right)\)
Nu moet ik deze verder omzetten naar zijn gereduceerde echelonvorm.Ik ga het algoritme dat omschreven wordt in mijn cursus eens neerzetten, lees dit a.u.b. want ik volg het strikt op en toch kom ik niet uit wat ik moet uitkomen(volgens de cursus)
"Voer nu de elementaire rijbewerkingen uit waarbij de k-de rij
\(R_k\)
wordt vervangen door \(- a_{kj_i} R_i + a_{ij_i} R_k\)
met \(k = 1, ..., i - 1\)
voor achtereenvolgens \( i = 2, i = 3, ..., i = r\)
Dan bekomt men de echelonmatrix waarbij de leiders de enige niet-nulelementen zijn in hun kolom.Vervolgens vermenigvuldigen we elke rij
\(R_i\)
met \(\frac{1}{a_{ij_i}}\)
voor \( 1 \leq i \leq r\)
zodat alle leiders gelijk worden aan 1De bekomen matrix is dan een gereduceerde echelonmatrix."
Nu staat er in de cursus dit:
\( \left( \startmatrix 2 & 3 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & -12 & 4 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -12 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix \right)\)
\(\sim\)
\( \left( \startmatrix -24& 0 & -12 & -6 & -48 \\ 0 & -12 & 4 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -12 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix \right)\)
\(\sim\)
\( \left( \startmatrix 288 & 0 & 144 & 0 & 720 \\ 0 & 144 & -48 & 0 & 144 \\ 0 & 0 & 0 & -12 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix \right)\)
\(\sim\)
\( \left( \startmatrix 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \endmatrix \right)\)
Stap1: Eerste rij wordt aangepast, rest van de matrix nietStap2: Eerste 2 rijen worden aangepast, 3de niet
Stap3: Die vermenigvuldiging die in het algoritme zit wordt uitgevoerd. Dit wordt dus gedaan als de matrix een vorm bereikt waarbij de leiders de enige niet-nulelementen zijn in hun kolom.
Als ik ga rekenen volgens de gegeven formule, kom ik die eerste rij wel uit, maar zit er meteen verandering in de 2de, wat hier niet het geval is.
Voor de eerst rij neem je
\(-a_{1j_2} = (-3)\)
(1ste rij, 2de kolom) maal rij2 plus \(a_{2j_2} = (-12)\)
(2de rij, 2de kolom) maal rij1Dan bekom je:
\( \left( \startmatrix -3 \endmatrix \right) \cdot \left( \startmatrix 0 & -12 & 4 & -2 & -8 \endmatrix \right) + \left( \startmatrix -12 \endmatrix \right) \cdot \left( \startmatrix 2 & 3 & 0 & 1 & 6 \endmatrix \right)\)
Wat als oplossing geeft: \( \left( \startmatrix -24 & 0 & -12 & -6 & -48 \endmatrix \right)\)
Ik wou de eerste rij vervangen en dat is gelukt zoals het in de cursus staat. Maar nu de 2de rij, volgens hetzelfde systeem:Rij=2 dus
\( k = 2\)
en \( i = 3\)
dat wordt: \(-a_{2j_3} = (-4)\)
(1ste rij, 2de kolom) maal rij3 plus \(a_{3j_3} = 0\)
(2de rij, 2de kolom) maal rij2Dan bekom je:
\( \left( \startmatrix -4 \endmatrix \right) \cdot \left( \startmatrix 0 & 0 & 0 & -12 & 24 \endmatrix \right) + \left( \startmatrix 0 \endmatrix \right) \cdot \left( \startmatrix 0 & -12 & 4 & -2 & -8 \endmatrix \right)\)
het voorzetsel van het 2de deel is nul, dus die valt weg
De uitkomst is hier dus:
\( \left( \startmatrix 0 & 0 & 0 & 48 & -96 \endmatrix \right)\)
en dar komt dus niet overeen met wat er in de cursus staat.Moet je hier dan soms met deelmatrices werken? Eerst de eerste en de bijhorende, dan nog eentje en nog eentje enz tot je niet meer kan, en daarna de vermenigvuldiging?
Ik snap niet waar ik een fout maak...
het is nogal lang en heeft een tijdje geduurd om te maken, dus sorry voor mogelijke typfouten die ik niet zag
