In de praktijk meet een camera natuurlijk een vlak, en kun je dit met 3 camera's in 3 dimensies doen, maar zoals arretjenof aangeeft kunnen we ervan uitgaan dat de camera's een punt op een lijn registreren.
De vraag is nu hoe je uit de twee geprojecteerde (d.w.z. door de camera gemeten) coordinaten weer het oorspronkelijke punt kunt reconstrueren. Daarvoor hoeven de camera's niet eens 90
o ten opzichte van elkaar te staan.
We bekijken even één camera afzonderlijk:
C is hier het punt (de coordinaten) waar de camera staat, D is de richting waarin de camera kijkt, en het gearceerde deel is het gebied dat de camera kan zien (dit hangt af van de kijkhoek van de camera, ook wel "field of view" (FOV) angle).
Let op dat D een
richting is, relatief ten opzichte van C, en geen absoluut punt.
Nu construeren we twee vectoren links en rechts van het kijkveld van de camera:
DL is de richting vanuit C van wat er nog net links in beeld valt, en idem DR rechts. De hoeken
\(\alpha\)
tussen de lijnen C-D en C-DL en tussen de lijnen C-D en C-DR zijn tezamen de kijkhoek van de camera (dus
\(\alpha\)
=FOV/2).
De vectoren DL en DR bereken je door D over een hoek
\(\alpha\)
respectievelijk
\(-\alpha\)
te roteren. Dus:
\(\vec{DL} = \left( \startmatrix { \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) } \endmatrix \right)\cdot \vec{D} \)
En voor DR idem met
\(-\alpha\)
(of andersom, afhankelijk van of je een rechtshandig of linkshandig georiënteerd coördinatenstelsel gebruikt).
Nou is het punt dat de camera heeft gemeten, een coördinaat op de projectielijn (of in de praktijk waarschijnlijk projectievlak). Laten we even uitgaan dat de gemeten coördinaten van 0 tot 1 lopen, waarbij 0 uiterst links op de lijn is, en 1 uiterst rechts:
Ik heb het zo getekend voor de duidelijkheid, die denkbeeldige projectielijn staat in de praktijk oneindig dichtbij de camera.
Het gemeten punt heeft dus een coördinaat t op de projectielijn.
Aan de hand hiervan kun je een richtingsvector P bepalen, die vanuit de camera in de richting van het waargenomen punt wijst:
P reken je simpelweg uit met:
\(\vec{P} = \vec{DL} + t\cdot(\vec{DR}-\vec{DL})\)
(Even terzijde: merk op dat D, DL en DR niet genormaliseerd hoeven te zijn, als DL en DR maar even lang zijn. En al waren DL en DR wel genormaliseerd, dan is P dat niet, maar dat is ook niet nodig)
Je weet nu dat het oorspronkelijke punt
\({x \choose y}\)
gelijk is aan
\(\vec{C}+u\cdot\vec{P}\)
voor een onbekend getal u (hoe verder het oorspronkelijke punt van de camera ligt, hoe groter u, maar dat kun je aan het gemeten beeld van één camera nooit zien).
Je kunt nu hetzelfde doen voor de andere camera. Je krijgt dan uiteindelijk:
\(\vec{C_1}+u\cdot\vec{P_1} = \vec{C_2}+v\cdot\vec{P_2}\)
(en die zijn beide gelijk aan
\({x \choose y}\)
)
Als je de vectoren uitschrijft zijn dit twee simpele lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden (u en v), en dat is makkelijk op te lossen, waarmee je ook x en y hebt.
Succes!
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
