[determinanten] multilineariteitseigenschap

[Ruben01]

Ik zit in de knoei met de multilineariteitseigenschap van determinanten. Het probleem is denk ik dat er in mijn boek geen duidelijk voorbeeld staat, enkel de theoretische definitie van deze eigenschap.

Is er iemand die mij een voorbeeldje zou kunnen geven met eventueel een beetje uitleg zodat ik deze eigenschap begrijp?

[TD]

Verplaatst naar lineaire algebra.

Met de definitie is het nochtans goed te begrijpen.

Ik neem een functie f, scalairen a en b en vectoren x en y.

Als f lineair is, dan is f(ax+by) = af(x)+bf(y). Dat kan je?

Stel dat f een functie is van meerdere (vectoriële) veranderlijken,

dan noemen we f multilineair als f lineair is in elke veranderlijke.

Uitgeschreven:

\(f\left( {x_1 , \ldots ,ax_i + bx_{i + 1} , \ldots ,x_n } \right) = a \cdot f\left( {x_1 , \ldots ,x_i , \ldots ,x_n } \right) + b \cdot f\left( {x_1 , \ldots ,x_{i + 1} , \ldots ,x_n } \right)\)

Voor een determinant is dit zo, als je (bvb) de kolommen als de variabelen beschouwt.

[Ruben01]

Verplaatst naar lineaire algebra.

Beadankt, ik had het subforum te laat opgemerkt.

Ik neem een functie f, scalairen a en b en vectoren x en y.

Als f lineair is, dan is f(ax+by) = af(x)+bf(y). Dat kan je?

Dat begrijp ik. (kon ik al voor dat je het uitlegde)

Stel dat f een functie is van meerdere (vectoriële) veranderlijken,

dan noemen we f multilineair als f lineair is in elke veranderlijke.

Nu begrijp ik dit ook .

Het lijkt misschien raar maar door jouw uitleg begrijp ik het direct. Ook je formule is veel duidelijker dan die in mijn boek, daar werk men met griekse letters en andere symbolen waar je van achterover valt.

Waarom moet men dat altijd zo moeilijk maken als het simpel ook kan uitgelegd worden (dat heb jij zojuist bewezen).

Veel dank TD !!

[TD]

Griekse symbolen worden vaak voor scalairen gebruikt, daar moet je je niet door laten afschrikken!

Als dat helpt, schrijf eigenschappen gerust eens uit in symbolen die voor jou duidelijker zijn.

[Ruben01]

Bedankt voor de tip !!

Ik snap de definitie nu wel maar wanneer ik het moet toepassen lukt loop ik precies toch nog wel wat vast. De docent had tijdens de les ergens in een hoekje op het bord een voorbeeld proberen geven en liep daar zelf op vast (hij zie zo 'hier moet nog wel wat bij') en toen stopte hij maar en ging hij verder met het volgende stuk.

Dit was de opgave:

\(\left [ \begin{array}{cc} 1+2 & 3+2 \\ 1+2 & 3+2 \end{array} \right ] \)

Hoe start ik hier nu mee ?

[TD]

Daar staat een matrix, moet je er de determinant van berekenen?

[Ruben01]

Daar staat een matrix, moet je er de determinant van berekenen?

Ja ik denk het wel. Bij het stuk over lineariteit stond dat op het bord als "voorbeeld", het werd alleen niet uitgerekend.

Het probleem is dat de matrix er opeens veel anders uitziet dan de definitie zegt voor mijn ogen.

Moet ik misschien die optellingen uitwerken of scheiden in 2 matrixen ofzo ?

[TD]

"Normaal gezien" zou je gewoon de optellingen uitvoeren en de determinant direct uitrekenen.

Als het als voorbeeld van de multilineariteit werd gegeven, moet je misschien splitsen.

[Ruben01]

Oké, hier twijfel ik al hoe ik hem zou opsplitsen maar ik heb besloten het als volgt te doen:

\(\left [ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right ] \)

Hoe zie ik nu welke a en b is uit jouw formule ?

PS: is het normaal dat ik niet kan quoten en 'voorbeeld bericht' kan gebruiken in dit subforum ?

[TD]

PS: is het normaal dat ik niet kan quoten en 'voorbeeld bericht' kan gebruiken in dit subforum ?

Dat zou toch moeten werken...

Oké, hier twijfel ik al hoe ik hem zou opsplitsen maar ik heb besloten het als volgt te doen:

\(\left [ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right ] \)

Hoe zie ik nu welke a en b is uit jouw formule ?

Het "probleem" met dit voorbeeld is dat gewoon uitrekenen natuurlijk eenvoudiger is.

Het is vrij "idioot" om hier de multilineariteit op toe te passen. Je zou kunnen schrijven:

\(\left| {\begin{array}{*{20}c} {1 + 2} & {2 + 3} \\ {1 + 2} & {2 + 3} \\\end{array}} \right| = 2\left| {\begin{array}{*{20}c} {1 + 2} & 1 \\ {1 + 2} & 1 \\\end{array}} \right| + 3\left| {\begin{array}{*{20}c} {1 + 2} & 1 \\ {1 + 2} & 1 \\\end{array}} \right|\)

\( = 2\left( {\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right|} \right) + 3\left( {\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array}} \right|} \right)\)

[Ruben01]

Als ik de oplossing zou zie staan dan zou ik denken dat ik het zelf zou kunnen oplossen maar als ik een opgave zou krijgen gaat me dit niet lukken vrees ik.

Zoals je zelf zegt kan je dit veel makkelijker oplossen.

Heb jij soms nog een voorbeeld waar ik eens op kan proberen ?

Dan kan ik morgenavond misschien eens proberen.

[TD]

Ik denk niet dat je die multilineariteit "in de praktijk" veel zal gebruiken om determinanten uit te rekenen. Die eigenschap is vooral handig vanuit theoretisch oogpunt, onder meer om stellingen in verband met determinanten te bewijzen.

[Ruben01]

Oké, bedankt voor de uitleg !!