Constructie van rechthoekszijden van rechthoekige driehoek gegeven schuine zijde en verhouding

[Erik Leppen]

Stel, ik wil een rechthoekige driehoek construeren waarvan gegeven is

[*]de schuine zijde

[*]de verhouding tussen de lengtes van de twee rechthoekszijden.

In het bijzonder wil ik een rechthoekige driehoek construeren waarvan ik de schuine zijde heb (een lijnstuk met eindpunten), en de verhouding tussen de zijden moet 1 : 3 zijn. Hoe construeer ik het derde hoekpunt? Ik weet dat er vier mogelijke punten zijn, en ook dat het punt op de cirkel ligt met als diameter het gegeven segment. Ik zoek naar een constructie die met uitsluitend passer en liniaal te doen is. Omdat in de formule van Pythagoras alleen vierkantswortels voorkomen zou ik zeggen dat dit punt construeerbaar is, maar hoe zou zo'n constructie er uit zien?

[PeterPan]

Teken een willekeurig lijnstuk

\(AB\)

.

Construeer een lijn

\(m\)

loodrecht op

\(AB\)

, door punt

\(A\)

.

Punt

\(C\)

ligt op lijn

\(m\)

en

\(AC = 3AB\)

(2 mogelijkheden, kies daar een van).

Noem het gegeven lijnstuk

\(XY\)

.

Teken de lijn door

\(B\)

en

\(C\)

en pas op deze lijn lijnstuk

\(XY\)

af, zodat

\(X\)

samenvalt met

\(B\)

en

\(Y\)

overgaat in punt

\(D\)

.

Construeer een lijn evenwijdig aan

\(AC\)

door

\(D\)

.

Deze lijn snijdt

\(BA\)

in

\(Q\)

.

Dreihoek

\(BQD\)

is de gevraagde driehoek.

ppp.gif (2.61 KiB) 905 keer bekeken

[Erik Leppen]

Oké, dus je construeert eigenlijk eerst een congruente driehoek elders om 'm dan vervolgens "over te zetten". Althans, gegeven de driehoek is het volgens mij met een of andere constructie wel mogelijk om de driehoek te "kopieren" naar XYZ met Z het punt corresponderend met Q.

Want als je een loodlijn vanuit Q neerlaat op BD, dan krijg je een snijpunt E op BD, en via een affiene afbeelding (die zijn construeerbaar via parallele projectie) kun je die "vertalen" naar een punt W op XY zodanig dat de verhouding Y - W : W - X gelijk is aan D - E : E - B. En dan weer de loodlijn en dan snijpunt met de cirkel met middellijn XY.

Eigenlijk wel een simpele oplossing... Want wat er eigenlij kgebeurt is:

[*]Teken een willekeurige driehoek die gelijkvormig is met de gewenste

[*]Schaal 'm zodat ie congruent wordt (even groot)

[*]Transleer en roteer 'm op de juiste positie.

Het is niet een heel elegante manier vind ik zelf, maar hij werkt.

[jhnbk]

Moet het elegant zijn?

Ik denk niet dat er een andere methode is.

[PeterPan]

Moet het elegant zijn?

Ik denk niet dat er een andere methode is.

z.gif (3.38 KiB) 899 keer bekeken

Je lijn is XY.

Construeer een cirkel met middellijn

\(XY\)

.

Teken vanuit

\(X\)

een willekeurige lijn die de cirkel onder lijn

\(XY\)

snijdt.

Kies op die lijn een willekeurig punt

\(Q\)

binnen de cirkel en pas

\(XQ\)

10 maal af op die lijn.

Het derde punt noemen we

\(C\)

, het tiende

\(A\)

.

Trek lijnstuk

\(AY\)

en construeer vanuit

\(C\)

een lijn die daaraan evenwijdig loopt.

Die lijn snijdt

\(XY\)

in

\(B\)

.

Teken vanuit

\(X\)

een lijn loodrecht op XY en kies daarop punt

\(D\)

zo dat

\(XD=XB\)

.

De lijn door

\(D\)

evenwijdig aan

\(XY\)

snijdt de cirkel in

\(E\)

.

\(XEY\)

is de gevraagde driehoek.