Vier ronddraaiende ellipsvormen

[Josvdp]

Een wiskundig probleem waar ik op stuit omvat 4 (naar verwachting) ellipsen die ronddraaien (zie illustraties hier onder). Deze ellipsen zijn tijdens deze draai onafgebroken in contact met elkaar. Ze mogen elkaar niet snijden maar ze mogen ook niet loskomen, ze mogen elkaar dus slechts in een punt raken.

A-la, niet zo ingewikkeld zou je zeggen toch? Tenminste, dat dacht ik. Als je echter een model gaat maken kom je er achter dat dit niet mogelijk is met een zuivere ellips. In het model overlapten de ellipsen elkaar en pas na hier en daar bijsnijden kreeg ik een model dat - op het oog - voldoende was. Echter is praktijk voor mij niet genoeg en ik moet de theorie zien te bemachtigen waaruit deze vormen ontstaan. Voor de duidelijkheid is hieronder het een en ander aan illustraties gegeven.

Vraagstuk(ken):

- Wat is de theoretische benadering van deze vorm?

- Hoe verhouden de hoogte, breedte en lengte zich in deze vorm? Oftewel, zijn er meerdere soorten vormen mogelijk?

Beginstand ellipsen, allen draaien clockwise:



Voorbeeld van hoe de ellipsen staan na 45 graden:



Animatie van de draai (counter clockwise):

Filmpje

[PeterPan]

Is dit een opdracht die je moet oplossen, of is dit iets dat je zelf bedacht hebt of ...?

[TD]

Verplaatst naar meetkunde.

[thermo1945]

Verplaatst naar meetkunde.

??? Daar zitten we toch al???

[TD]

Nu wel ja. Het stond in wiskunde algemeen, dacht ik

[PeterPan]

De oplossing is verrassend eenvoudig.

[Safe]

@PeterPan: leuke opmerking. Is het eigenlijk wel een ellips?

[thermo1945]

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.

Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuümpomp en die doe het erg goed.

[thermo1945]

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.

Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuümpomp en die doet het erg goed.

Zie de tekening op deze link.

Sorry, dat ik even afdwaalde maar niemand heeft nog een goed antwoord gegeven.

Helaas is er geen standaardtechniek waarop je kunt terugvallen.

WELLICHT LUKT HET MET VIER IDENTIEKE LEMNISCATEN IN PLAATS VAN ELLIPSACHTIGE OBJECTEN.

Ik kan niet bewijzen, dat dit DE oplossing is.

[PeterPan]

@PeterPan: leuke opmerking. Is het eigenlijk wel een ellips?

Nee, eigenlijk nog iets simpelers.

[PeterPan]

Telkens raakt de spitse punt aan de bolle kant van de "ellips".

Nemen we voor de spitse punt een stukje van een cirkel met straat

\(r\)

en voor de bolle kant een stuk van een cirkel met straal

\(R\)

.

De "ellipsen" zijn telken een kwart slag gedraaid.

Veronderstel de "ellips" heeft halve lengte "a" en halve breedte "b" en de middelpunten van de "ellipsen" liggen op de cirkel

\(x^2+y^2=2\)

.

Dan is

\(a+b=2\)

.

We plaatsen de spitse punt op de juiste plek als de ellips in het eerste kwadrant een hoek

\(\phi\)

gedraaid is.

cirkel

\(re^{i\psi}\)

, naar links

\(-a+r+re^{i\psi}\)

, draaien

\(e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})\)

en middelpunt verplaatsen

\(1+i+e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})\)

.

Analoog voor de bolle kant

\(Re^{i\tau} \to (-R+b)i+Re^{i\tau} \to e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau}) \to -1+i+e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau})\)

Bolle kant en scherpe punt hebben precies 1 punt gemeen.

Gelijkstellen geeft

\(1+i+e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})=-1+i+e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau})\)

ofwel

\(2(1-e^{-i\phi}) = R(1+ie^{i\tau}) + r(1+e^{i\psi})\)

en daaraan is altijd voldaan als

\(R+r=2\)

en

\(\pi-\phi = \psi = \frac{\pi}{2}+\tau\)

Dus als de straal van de spitse punt + de straal van de bolle kant = 2 heb je een oplossing die aan de eisen voldoet.

[Josvdp]

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.

Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuümpomp en die doet het erg goed.

Zie de Telkens raakt de spitse punt aan de bolle kant van de "ellips".

Nemen we voor de spitse punt een stukje van een cirkel met straat

\(r\)

en voor de bolle kant een stuk van een cirkel met straal

\(R\)

.

De "ellipsen" zijn telken een kwart slag gedraaid.

Veronderstel de "ellips" heeft halve lengte "a" en halve breedte "b" en de middelpunten van de "ellipsen" liggen op de cirkel

\(x^2+y^2=2\)

.

Dan is

\(a+b=2\)

.

We plaatsen de spitse punt op de juiste plek als de ellips in het eerste kwadrant een hoek

\(\phi\)

gedraaid is.

cirkel

\(re^{i\psi}\)

, naar links

\(-a+r+re^{i\psi}\)

, draaien

\(e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})\)

en middelpunt verplaatsen

\(1+i+e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})\)

.

Analoog voor de bolle kant

\(Re^{i\tau} \to (-R+b)i+Re^{i\tau} \to e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau}) \to -1+i+e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau})\)

Bolle kant en scherpe punt hebben precies 1 punt gemeen.

Gelijkstellen geeft

\(1+i+e^{i\phi}(-a+r+re^{i\psi})=-1+i+e^{i\phi}((-R+2-a)i+Re^{i\tau})\)

ofwel

\(2(1-e^{-i\phi}) = R(1+ie^{i\tau}) + r(1+e^{i\psi})\)

en daaraan is altijd voldaan als

\(R+r=2\)

en

\(\pi-\phi = \psi = \frac{\pi}{2}+\tau\)

Dus als de straal van de spitse punt + de straal van de bolle kant = 2 heb je een oplossing die aan de eisen voldoet.

Wat een geweldige hulp! Hier ga ik nog even goed naar kijken. Wat ik me halverwege deze berekening dacht is dat ik met nog een ander probleem zit wat ik misschien theoretisch op kon lossen (was het van plan praktisch te doen).

Het raakpunt van de 'ellipsen' beweegt namelijk over de bovenkant van iedere rotor heen. Hiervan is een illustratie te zien onderaan deze post (verzameling van raakpunten is blauw gemarkeerd). Het lukt mij niet om de lengte tussen de uiterste raakpunten te berekenen. Moet ik dit grafisch oplossen of kan hier een theorie achter gevonden worden?

[PeterPan]

In het bovenstaande heb ik geen rekening gehouden met de overgang van (spits,bol) naar (bol,spits).

Daarin kan een knikje zitten.

Als je dat wilt vermijden en de "ellips" overal glad wil hebben, dan volgt uit berekeningen dat

\(a<\sqrt{2}\)

\(r = \frac{\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}-1}\)

\(a+b=2\)

\(R+r=2\)

en

van de kleine cirkel (met straal

\(r\)

) is precies een kwart cirkel zichtbaar (jouw dikke lijn).

De cirkels zijn

\(C((a-r,0),r), C((-a+r,0),r), C((0,-a+r),2-r), C((0,a-r),2-r)\)

waarbij

\(C((p,q),z)\)

een cirkel voorstelt met middelpunt

\((p,q)\)

en straal

\(z\)

.

[thermo1945]

Als je dat wilt vermijden en de "ellips" overal glad wil hebben, dan ...

En wat voor figuur is het nu?

En welke soort figuur beschrijft de verzameling raakpunten?

[Josvdp]

Ok, ik heb de berekeningen nog eens bekeken en ik snapte in eerste instantie niet zo goed wat de reden was dat je dit imaginair deed. Ik denk echter dat dit moest omdat de middelpunten van de cirkels niet beschreven konden worden, klopt dat?

De bedoeling is om nu met de raakpunten de oppervlaktes te berekenen die ontstaan. De grootst mogelijk oppervlakte en de kleinst mogelijke oppervlakte. De manier kleinst mogelijke oppervlakte te berekenen is te vinden in de illustratie. Hierbij vormen de raakpunten een vierkant waarna de oppervlaktes van de delen van de cirkel af worden getrokken van dit geheel. Dit kan ik natuurlijk zelf doen, maar helaas lukt het mij niet om de vierkant samen te stellen die uit de raakpunten voortvloeit. Iemand tips?