\((u,v)\)
ligt op de ellips\(\frac{(x-3)^2}{4} + \frac{(y-5)^2}{3} = 1\)
Wat is de raaklijn door P aan de ellips:Antwoord:
\(\frac{(u-3)(x-3)}{4} + \frac{(v-5)(y-5)}{3} = 1\)
Het antwoord kon ik onmiddellijk geven door middel van halfsubstitutie.Nog enkele voorbeelden van halfsubstitutie.
\((u,v)\)
is telkens een punt op de grafiek en we zoeken de vergelijking van de raaklijn door \((u,v)\)
.\((x+y)^2-2x-1=0\)
. Raaklijn: \((u+v)(x+y)-(u+x)-1=0\)
\(x^2 + y^2 + 4xy - 3=0\)
. Raaklijn: \(ux + vy + \frac{4uy + 4xv}{2} - 3=0\)
\((ax+by+c)^2=9\)
. Raaklijn: \((au+bv+c)(ax+by+c)=9\)
\((ax+b)(cy+d)-5=0\)
. Raaklijn: \(\frac12 (au+b)(cy+d) + \frac12 (ax+b)(cv+d)-5=0\)
Dit gaat altijd goed voor kegelsneden (tweede graads vergelijkingen in x en y).Wat nu als
\((u,v)\)
niet op de grafiek ligt.Dan is de verkregen lijn een zogenaamde poollijn, en dat is de lijn door de raakpunten van de twee raaklijnen door
\((u,v)\)
aan de grafiek.
