Curtate cycloid

[Sibelius]

Dag

In de vioolbouw is wel eens gesuggereerd dat de welving van een viool gebaseerd is

op de curtate cycloid curve.

Deze kan worden uitgedrukt als de plaats van een punt P

op een afstand h van het centrum van een circel waarvan de straal a is

en waarvan het middelpunt O is.

De hoek t die de lijn OP maakt tov het grondvlak doorloopt een cyclus.

Dus:

x = at - hsin(t)

y = a - hcos(t)

wanneer h = a dan krijg een pure cycloid

wanneer h < a dan heb je een curtate cycloid

wanneer h > a dan is het resultaat een prolate cycloid

Maar nu mijn vraag:

Het gaat mij om de curtate cycloid. Van deze curve zou ik graag op een bepaald punt van de curve de

raaklijn willen weten (of de richtingscoëfficiënt van die raaklijn)

Kan iemand mij daaraan helpen.??? Hoe vind ik die?

[PeterPan]

\(x = at - h\sin(t)\)

\(y = a - h\cos(t)\)

Van deze curve zou ik graag op een bepaald punt van de curve de

raaklijn willen weten.

De richtingscoëfficient van een raaklijn voor

\(t=t_0\)

is

\(\frac{dy}{dx}|_{t=t_0}\)

\(\frac{dx}{dt} = a -h\cos(t)\)

\(\frac{dy}{dt} = h\sin(t)\)

Dus

\(\frac{dy}{dx}|_{t=t_0} = \frac{a -h\cos(t_0)}{h\sin(t_0)}\)

[Sibelius]

De richtingscoëfficient van een raaklijn voor

\(t=t_0\)

is

\(\frac{dy}{dx}|_{t=t_0}\)

\(\frac{dx}{dt} = a -h\cos(t)\)

\(\frac{dy}{dt} = h\sin(t)\)

Dus

\(\frac{dy}{dx}|_{t=t_0} = \frac{a -h\cos(t_0)}{h\sin(t_0)}\)

Mijns inziens klopt er iets niet.

Ik heb de grafiek op mijn computer getekend. De r.c. van de raaklijn van deze curtate cycloid

nadert nergens de waarde van oneindig.

Dat gebeurt wel met de richtingscoëfficiënt zoals hierboven berekend:

vul voor t maar eens pi in dan krijg je een rc. die oneindig wordt en merkwaardig genoeg geen nul.

Hoe zit dit??

[Sibelius]

Inmiddels heb ik ontdekt wat de oorzaak is.

In mijn programma heb ik denk ik de y en x-waarden door elkaar gehaald. Ik ben er nu dus uit!

Het lukt prima om nu te bepalen waar de curve het stijlst loop etc. Bedankt!

[Sibelius]

Kan iemand me nu nog een stapje verder helpen t.a.v. de curtate cycloid curve.

Deze kan worden uitgedrukt als de plaats van een punt

op een afstand h van het centrum van een circel waarvan de straal a is.

Nu zoek ik de snijpunten van deze curve:

x = a.t - h.sin(t)

y = a - h.cos(t)

met de lijn y = p

of van bovenstaande curve met de lijn x = p

en dan nog de snijpunten van een lijn y = p of x = p met de afgeleide van bovenstaande curve:

x'= a.t - h.sin(t)

y' = h.sin(t) / (a - h.cos(t))

[PeterPan]

Nu zoek ik de snijpunten van

\(x = at - h\sin(t)\)

\(y = a - h\cos(t)\)

met de lijn

\(y = p\)

\(p = y = a - h\cos(t)\)

.

Dan is

\(\cos(t) = \frac{a-p}{h}\)

en

\(t = \arccos(\frac{a-p}{h})\)

en

\(\sin(t)=\pm\sqrt{1-\cos^2(t)} = \sqrt{1- \frac{(a-p)^2}{h^2}}\)

Dus is dan

\(x = at - h\sin(t) = a\arccos(\frac{a-p}{h}) \pm \sqrt{1- \frac{(a-p)^2}{h^2}}\)

met de lijn

\(x = p\)

De vergelijking

\(p = at - h\sin(t)\)

is niet exact op te lossen.

en dan nog de snijpunten van een lijn y = p of x = p met de afgeleide van bovenstaande curve:

x'= a.t - h.sin(t)

y' = h.sin(t) / (a - h.cos(t))

Hier staat abacadabra.