"Wat is de kans dat n random walks (1D) samenkomen in een punt na s stappen?"
Op math stacks exchange heb ik een vraag gesteld onderstaand volgt een vertaling.
https://math.stackexchange.com/q/3986806/650339
De vraag heb ik mijzelf gesteld omdat iemand op een ander forum schreef dat het samenkomen van de cumulatieve som van de decimalen van: e, π en φ (golden ratio) "cosmologische" betekenis heeft MF (wat hij geobserveerd heeft). Ik heb mezelf tot proef gesteld te bewijzen of dit waar is (intuitief: vind ik het een crackpot idee maar laat de wetenschap spreken). Indien e, π en φ normale getallen zijn (zoals voor miljoenen decimalen is aangetoond) komen de decimalen van deze even vaak voor. Op deze manier is de decimalen progressie van deze constanten als een random walk te zien.
Methode:
Voor iedere stap s van een random walk (1D) kan de kans dichtheids functie bepaald worden. Hiervoor dient de standaard deviatie per stap bepaald te worden.
De standaard deviatie per stap kan bepaald worden uit een "discrete uniform distribution", hierbij heeft ieder element een gelijke kans van optreden. We stellen q het aantal mogelijkheden bijvoorbeeld het aantal decimalen: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], dus q=10:
$$\sigma=\sqrt{\frac{q^{2}-1}{12}} $$
Voorlopig in dit voorbeeld word gesteld dat alle random walks (1D) starten in de oorsprong. De variantie van de random walk neemt proportioneel toe met het aantal stappen SE link. We kunnen nu de standaard afwijking bepalen voor iedere stap s:
$$Var(s)=s \cdot \sigma^{2}$$
$$\sigma(s)=\sqrt{s} \cdot \sigma$$
Het aantal bins per stap neemt snel toe. Hierdoor kan de normale verdeling benadering van de Binomiale verdeling gebruikt worden:
$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{2}}dx $$
De kans dat n random walks (1D) samenkomen in een punt/stap s kan bepaald worden met:
$$p(s)=\int_{-\infty}^{\infty} \left[ {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{2}} \right]^n dx$$
Empirsch zijn oplossingen gevonden met behulp van Wolfram Alpha WA. De gevonden relatie is dan de kans op interctie op stap s, en ziet uit als:
$$p(s)= \frac{1}{g(n) \cdot \sigma ^{(n-1)} } \cdot s^{-\frac{1}{2}(n-1)} $$
Waar de functie g(n) gevonden is als:
$$g(n)=\sqrt { n} \cdot (2 \pi)^{\frac{1}{2}(n-1)}$$
Onderstaand een voorbeeld van n=3 random walks. Te zien is dat het samenkomen van 3 random walks in een punt niet uniek is. Bij minder dan 1200 stappen is de kans ~8% dat dit voorkomt (zowel theoretisch als numeriek aangetoond). Er is dus geen cosmologische of bijzondere reden waarom de cumulatieve decimalen som van e, π en φ samenkomen.
$$\zeta(\tiny{\frac{1}{2}(n-1)} \normalsize) =\sum\limits_{s=1}^{\infty}s^{- \frac{1}{2}(n-1)}$$
$$p(n)=\frac{1}{g(n) \cdot \sigma^{(n-1)}} \cdot \sum\limits_{s=1}^{\infty}s^{- \frac{1}{2}(n-1)} $$
Grafiek informatie.
Onderstaand een tabel en grafiek van de totale kans p(n) van het samenkomten van n random walks (1D) in een punt. Details:
- De standaard deviatie is gekozen als 10 gelijke kansen per stap: \(\sigma=\sqrt{\frac{99}{12}}\)
- Voor oneindige random walks \(n \rightarrow \infty\) convergeert de p-serie naar 1. Deze kan is geplot als: \(p_{\infty}(n)\).
- p(n) kan als continue functie geplot worden.
- n=3 random walks zullen elkaar altijd oneindig maal treffen in een enkel punt. p-series: \(\sum\limits_{s=1}^{\infty}s^{-1}=\infty\), Riemann Zeta: \(\zeta(1)=\infty\) beide geven oneindige kans \(p(n)\rightarrow \infty\).
- n=2 random walks zullen elkaar altijd oneindig maal treffen in een punt. Volgens de p-series: \(\sum\limits_{s=1}^{\infty} s^{-\frac{1}{2}}=\infty\), echter de interpretatie Riemann Zeta is onduidelijk: \(\zeta(\frac{1}{2})=-1.46035...\) de geeft een negatieve kans \(p(2)\).
- Het is mogelijk dat meer dan n=4 random walks zich nooit treffen in een enkel punt. Voor n=4 is een kans van ~0.35 % dat random walks zich treffen in een enkel punt (met 10 evenredige kansen per stap).
- Dit beschreven verschijnsel is in de literatuur bekend als: recurrence and transience.
Voor de kans dat n=2 random walks erlkaar treffen in een punt is direct gerelateerd aan de positie van de critische lijn van de Riemann zeta functie \(\zeta(0.5)\). Heeft iemand een idee hoe de negatieve kans te interpreteren is?
