kans

[ukster]

De kans dat 3 random (integer) lengtes uit een lijnsegment van 11cm een (niet gedegenereerde) driehoek kunnen vormen blijkt 1/3 te zijn. Hoe bewijs je zoiets?

[tempelier]

Ik vermoed dat dat met de driehoeksongelijkheid moet.

Deze luidt:
Twee zijden zijn samen altijd meer dan de derde.

[ukster]

Met dit schema heb ik wel de noodzakelijke ongelijkheden gevonden, echter, ik loop vast op de uiteindelijke kansberekening!

schema.png (11.53 KiB) 1377 keer bekeken

2k+1=11
k=5
De verzameling paren S={(a,b)∈N} representeerd een verdeling welke leidt tot een driehoek.
Dit lukt dus alleen onder de voorwaarde(n):
a ≤ k
b-a ≤ k
2k+1-b ≤ k
Ofwel: 1 ≤ a ,b-a, 2k+1-b ≤ k
Ofwel: 1 ≤ a ≤ k ∧ k+1 ≤ b ≤ k+a
kans p = aantal keren dat een bepaald resultaat optreedt / totaal aantal mogelijke uitkomsten ????

[ukster]

vorig schema wat niet helemaal juist getekend
Dit schema geeft één van de mogelijkheden!

schema.png (11.22 KiB) 1366 keer bekeken

[Xilvo]

Welke eis wordt er aan de lijnstukken gesteld? Mogen die ook meedoen als ze lengte nul hebben (al leveren ze wel een gedegenereerde driehoek op)?
In ander woorden, is de vraag wat de kans is dat twee willekeurige getallen van 0 tm 11 een lijn van 0 tm 11 in drie stukken verdelen waaruit een driehoek te maken is?

[CoenCo]

Gewoon tellen.
Aannames:
Alles in combinaties, (geen permutaties. Dus volgorde telt niet)
De kans op een gewenste gebeurtenis is 1 - (alle ongewenste)/(alle mogelijke)
Er kan geen driehoek worden gevormd als het langste lijnstuk >= 6cm is.
Alle drie de lijnstukken zijn per definitie >= 1cm

Je kan de lijn op 10*9/2 is 45 manieren doorsnijden. (Combinaties, geen volgorde eerste en tweede snede. )
Stel het linker lijnsegment >= 6, dan zijn er 5*4/2 =10 mogelijkheden om de rechter rest op te delen
Stel het rechter lijnsegment >= 6 dan zijn er weer 10 mogelijkheden om de linker helft op te delen.

Dan kan er ook nog een lijnsegment van 6 op positie 1,2,3 of 4 beginnen
Een lijnsegment van 7 op 1,2 of 3
8 op 1,2
Of 9 op 1

Totaal 10+10+4 +3+2 +1 =30 ongewenste gebeurtenissen op 45 in totaal. Of 15/45= 1/3kans op de gewenste gebeurtenis.

[Xilvo]

Bij een even aantal punten waaruit je kunt kiezen (zoals hier bij 11 cm) krijg je kansen >0,25, bij een oneven aantal punten krijg je kansen <0,25.
In de limiet van een continuum wordt de kans exact 0,25.

[ukster]

Gewoon tellen.
Je kan de lijn op 10*9/2 is 45 manieren doorsnijden

@CoenCo
Bedank voor je Interessante uitleg.
Naast het gegeven (drie lijnstukken) is de lengte 2k+1 bepalend voor de kans (p) , dus met k
even vanuit het antwoord (1/3) geredeneerd:
Met k=5 is 10*9/2 te schrijven als 2k(2k-1)/2
15 is te schrijven als k(k+1)/2
kans(p) = 15/45 = [k(k+1)/2]/[2k(2k-1)/2] = (k+1)/2(2k-1) = (k+1)/(4k-2)
lengte 9 , kans 0,3571
lengte 81 , kans 0,2595
@Xilvo
In de limiet is de kans inderdaad 0,25

[ukster]

Dit is me nog opgevallen:

som.png (1.59 KiB) 1236 keer bekeken