Keno

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 734

Keno

Bij Keno worden er 20 ballen uit een reeks van 80 getrokken. Wanneer de dagelijkse trekking op tv komt, valt het mij op dat daar heel dikwijls een trekking is waarbij 3 opeenvolgende nummers voorkomen, bvb. 20, 21 en 22.

Als ik daar een berekening op maak:
a)
20 ballen uit 80 trekken = 80!/60!

b)
20 ballen trekken uit 80 met 3 opeenvolgende nummers:
keuze voor bal 1: 80 mogelijkheden
keuze voor bal 2 en 3: telkens 1
overige 17 ballen te trekken uit resterende 77: 77!/60!
samen: 80 x 77!/60!

Als ik dan de kans bereken dat zo'n reeks van 3 opeenvolgende ballen voorkomt: b)/a) (zie hierboven), kom ik uit op een kans van 1 op 6162.

Dat lijkt me een redelijk kleine kans in vergelijking met het aantal keer dat dit voorvalt. Maak ik ergens een rekenfout ?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Keno

Stel, je trekt 3 ballen. Je wilt er drie op een rij hebben.
De eerste mag elke waarde hebben. Kans 1.

De tweede mag een getal 1 lager of hoger dan de eerste bal hebben, 2 mogelijkheden van de 79 (A).
De "randen" (getallen 1, 80) negeer ik voor het gemak maar.
Of een getal 2 lager of hoger dan de eerste bal, ook 2 mogelijkheden van de 79 (B).

De derde heeft 2 mogelijkheden van de 78 in geval (A), aan weerszijden van twee aansluitende getallen of (B) 1 mogelijkheid van de 78, midden tussen twee getallen die 2 verschillen.

De kans op drie op een rij is dan 2/79 * 2/78 + 2/79 * 1/78 = 0,000974. Al bijna een duizendste, bij maar drie ballen.

Het sommetje helemaal netjes uitrekenen lijkt me nog niet zo makkelijk maar een simulatie levert een kans van ruim 63% op minstens eenmaal drie of meer op een rij.

Technicus
Berichten: 836

Re: Keno

Gegeven het begin van Xilvo, een variatie:
Trek de eerste bal, die is altijd goed
Tweede bal 2/79 kans dat hij aansluit (boven/onder)
Derde bal 2/78 kans dat hij aansluit (boven/onder)

Deze 3 goede ballen van het rijtje, trek je dan verdeeld over 20 trekkingen:
(2/79 * 2/78) * (20!/(17!3!)) = 0,74 (plus of min een beetje)

Zijn we alleen de randen nog vergeten (de eerste bal is een 1,2,79 of 80), daar is de kans iets minder gunstig.

Berichten: 264

Re: Keno

Het aantal mogelijke trekkingen is
\({80 \choose 20} = 3535316142212174320\)

Als alle getrokken ballen solitair liggen = zonder aangrenzende buur, dan hebben we:
- in geval bal 1 en bal 80 getrokken zijn: 19 tussenruimtes die we op moeten vullen met 60 ballen, waarbij elke tussenruimte ten minste 1 bal krijgt
- in geval de kleinste bal >1 is en bal 80 getrokken: 20 tussenruimtes die we op moeten vullen
- in geval de grootste bal <80 is en bal 1 getrokken: 20 tussenruimtes die we op moeten vullen
- in geval de kleinste bal >1 is en de grootste <80 : 21 tussenruimtes die we op moeten vullen.
In alle gevallen hebben we 60 ballen waarmee we de tussenruimtes vullen, en moeten alle tussenruimtes ten minste 1 bal krijgen.
dit zijn
\({60-1 \choose 19-1} + 2\cdot {60-1 \choose 20-1} + {60-1 \choose 21-1}\)
\(={59 \choose 18} + 2\cdot {59 \choose 19} + {59 \choose 20}\)
\(={60 \choose 19} + {60 \choose 20}\)
\(={61 \choose 20} = 6236646703759395\)
mogelijkheden.
De kans op alleen solitair getrokken ballen is dus 6236646703759395 / 3535316142212174320
= 0.0017640987263608...

Evenzo voor k duo's (duo = precies 2 aangrenzend getrokken ballen; k=1..10) en de rest solitair getrokken ballen: nu hebben we in vergelijk met bovenstaande k tussenruimtes minder, maar hebben we wel de keuze uit
\({20-k \choose k}\)
mogelijkheden om de getrokken duo's en solitaire ballen op onderlinge volgorde te plaatsen.
In totaal geeft dit
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} {61 \choose 20-k} \cdot {20-k \choose k} = 1282936617353125941\)
mogelijkheden
De kans op [1 of 2 of ... of 10 duo's en de rest solitair] is dus = 1282936617353125941 / 3535316142212174320
= 0.3628916243259....

De kans dat er meerdere opeenvolgende ballen zijn (= ten minste 1 groep van ten minste 3 opeenvolgende getrokken ballen) is dus
1 - ( 0.0017640987263608 + 0.3628916243259) = 0.6353442769...
Dit komt overeen met de simulatie van Xilvo hierboven (die uitkwam op ruim 63%).


NOOT: de berekening kan nog korter als je de sommatie voor k=0 start: dan zijn er k=0 duo's, en liggen alle getrokken ballen dus solitair.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.180

Re: Keno

Mooie uitwerking!
En de overeenkomst met de simulatie is goed, die geeft 0,63535 met een standaardafwijking 0,00015.

Gebruikersavatar
Berichten: 734

Re: Keno

Bedankt. Die 63% kans verklaart dat het zo dikwijls voorkomt.

Berichten: 264

Re: Keno

Nu wilde ik de rest ook weten...
Hieronder dus het complete overzicht.
L = de lengte van het langste rijtje aaneengesloten getrokken nummers binnen een Keno trekking.
In de laatste kolom het aantal mogelijke Keno-trekkingen waarbij L lengte n heeft (van de in totaal C(80,20) = 3535316142212174320 mogelijke Keno-trekkingen).

Code: Selecteer alles

n     |  P(L=n)        |  P(L>=n)       |  #uitkomsten waarbij L=n
------+----------------+----------------+---------------------------
1     |  0.0017641     |  1.00000       |   6236646703759395
2     |  0.36289       |  0.99824       |   1282936617353125941
3     |  0.45635       |  0.63534       |   1613358305587612297
4     |  0.13985       |  0.17899       |   494429470684463822
5     |  0.031271      |  0.039135      |   110552474415095039
6     |  0.0063757     |  0.0078643     |   22540277970864530
7     |  0.0012234     |  0.0014885     |   4325190317602560
8     |  0.00022090    |  0.00026508    |   780965792713130
9     |  3.7336 E-5    |  4.4181 E-5    |   131994410962260
10    |  5.8671 E-6    |  6.8449 E-6    |   20741979407178
11    |  8.5030 E-7    |  9.7785 E-7    |   3006083972320
12    |  1.1254 E-7    |  1.2755 E-7    |   397864055160
13    |  1.3438 E-8    |  1.5005 E-8    |   47506155840
14    |  1.4252 E-9    |  1.5677 E-9    |   5038531680
15    |  1.3156 E-10   |  1.4252 E-10   |   465095232
16    |  1.0278 E-11   |  1.0963 E-11   |   36335565
17    |  6.5256 E-13   |  6.8519 E-13   |   2307020
18    |  3.1576 E-14   |  3.2628 E-14   |   111630
19    |  1.0353 E-15   |  1.0525 E-15   |   3660
20    |  1.7254 E-17   |  1.7254 E-17   |   61

Reageer