Oefening met kat&muis

[Xilvo]

Opeens rent de muis met constante snelheid v_m=2,1m/s langs de torenmuur en de kat achtervolgt hem in een Archimedesspiraal r= Rφ/π

Dat betekent dat hier die Archimedesspiraal gegeven is en de jager niet steeds richting prooi hoeft te lopen?

[ukster]

Er is een groot verschil in afgelegde afstand.
Voor een straal van 6m legt de muis 18,849m af en de kat 11,669m

[ukster]

Opeens rent de muis met constante snelheid v_m=2,1m/s langs de torenmuur en de kat achtervolgt hem in een Archimedesspiraal r= Rφ/π

Dat betekent dat hier die Archimedesspiraal gegeven is en de jager niet steeds richting prooi hoeft te lopen?

Ja

[Rik Speybrouck]

Twee vragen:
Bij dit soort achtervolgingsvraagstukken is de richting van de jager steeds richting prooi.
Levert dat een Archimedesspiraal op, of is hier die Archimedesspiraal gegeven en hoeft de jager nu eens niet steeds richting prooi te lopen?

Als het eerste het geval is, stel de jager is vlak bij de prooi. Hij moet dan in radiale richting een afstand naar de prooi afleggen en in tangentiele richting. Maar die prooi beweegt in tangentiele richting met snelheid v_m.
De jager moet de prooi in tangentiele richting kunnen inhalen en ook nog een afstand in radiale richting afleggen. Ik zie niet hoe dat kan als v_k < v_m.

Maar misschien zie ik wat over het hoofd?

In het onderwerp van enkele jaren geleden waarop jij trouwens ook heb gereageerd was het uitgangspunt inderdaad dat de kat de muis perfect in het oog houdt en was de curve een gevolg van dit feit en was de gulden snede een gevolg van het feit dat kat en muis op de x en y as een gelijke afstand hadden afgelegd. Ukster vertrekt echter van een curve die reeds vast staat. en is volgens mij geen sprake van constant in het oog houden.

[Xilvo]

Ja

OK, dat verklaart dat de kat langzamer mag lopen dan de muis.

[Xilvo]

Ukster vertrekt echter van een curve die reeds vast staat. en is volgens mij geen sprake van constant in het oog houden.

Dat is me nu duidelijk. Ik ging er van uit dat de kat wel steeds richting prooi zou lopen zoals meestal bij dit soort vraagstukjes, daardoor vond ik de snelheidsverhouding vreemd.

Maar deze kat heeft blijkbaar wat bijgeleerd sinds al die vorige vraagstukjes

[ukster]

Het betreft een heel slimme kat inderdaad

[Rik Speybrouck]

Ukster vertrekt echter van een curve die reeds vast staat. en is volgens mij geen sprake van constant in het oog houden.

Dat is me nu duidelijk. Ik ging er van uit dat de kat wel steeds richting prooi zou lopen zoals meestal bij dit soort vraagstukjes, daardoor vond ik de snelheidsverhouding vreemd.

Maar deze kat heeft blijkbaar wat bijgeleerd sinds al die vorige vraagstukjes

of een acteruitkijk spiegel

[wnvl1]

Twee vragen:
Bij dit soort achtervolgingsvraagstukken is de richting van de jager steeds richting prooi.
Levert dat een Archimedesspiraal op, of is hier die Archimedesspiraal gegeven en hoeft de jager nu eens niet steeds richting prooi te lopen?

Er zijn varianten van dit raadsel die daar op inspelen, maar ik krijg ze niet gegoogled. Heb ze in het verleden wel gezien. Voor een optimaal raadsel zou de formulering wat in die richting aangepast moeten worden.

[Rik Speybrouck]

Twee vragen:
Bij dit soort achtervolgingsvraagstukken is de richting van de jager steeds richting prooi.
Levert dat een Archimedesspiraal op, of is hier die Archimedesspiraal gegeven en hoeft de jager nu eens niet steeds richting prooi te lopen?

Er zijn varianten van dit raadsel die daar op inspelen, maar ik krijg ze niet gegoogled. Heb ze in het verleden wel gezien. Voor een optimaal raadsel zou de formulering wat in die richting aangepast moeten worden.

je moet eens gogelen naar wolfram mathworld persuit curves

[RedCat]

Het betreft een heel slimme kat inderdaad

Dat is een pleonasme: alle katten zijn uitgeslapen (daar zorgen ze zelf heel goed voor).

Hier de plaatjes voor beide opties:

(1) De kat van Archimedes:

blauwe curve van de muis, de rode van de kat
Op regelmatige tijdstippen de verbindingslijnstukken:
- blauw: tussen kat en muis op hetzelfde tijdstip
- rood: de raaklijn aan de spiraal van Archimedes op de plaats van de kat


(2) De pursuit curve:

groen = verbindingslijnstuk tussen kat en muis = raaklijn rode curve op de plaats van de kat
Bij gelijktijdige aankomst in (-R, 0) kom ik numeriek uit op

\(v_{kat} \approx 1.0823 \cdot v_{muis}\)

[Xilvo]

Bij gelijktijdige aankomst in (-R, 0) kom ik numeriek uit op

\(v_{kat} \approx 1.0823 \cdot v_{muis}\)

Daar kom ik ook op, eveneens numeriek.

Overigens hoeft een ècht slimme kat maar met een snelheid \(v_{kat} \approx 0,31831 \cdot v_{muis}\) te lopen