gehuchten

Moderator: Rhiannon

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

gehuchten

Twee gehuchten A en B liggen aan twee rechte wegen welke elkaar snijden onder ∠ACB=60°.
Er zijn drie manieren om van A in B te komen.
1. De bus nemen van A via C naar B. Dit ritje duurt 11 minuten.
2. Lopend van A direct naar B neemt 70 min in beslag.
3. Vanuit A naar de weg lopen waarlangs B ligt en vandaar de bus naar B nemen. Dit duurt echter langer, zelfs als de bus onmiddellijk komt aanrijden. (snelheid bus 30km/h, snelheid wandelaar 3km/h)

Afstand AC ? (uiteraard door berekening!)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.371

Re: gehuchten

4 km!

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

ukster schreef: za 18 sep 2021, 16:19 3. Vanuit A naar de weg lopen waarlangs B ligt en vandaar de bus naar B nemen. Dit duurt echter langer, zelfs als de bus onmiddellijk komt aanrijden. (snelheid bus 30km/h, snelheid wandelaar 3km/h)
Mooi, maar het neemt niet weg dat je bovenstaande nog even moet bewijzen..

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.371

Re: gehuchten

Bewijs is een groot woord.
∠ACB=60° Dan moet C op een cirkel liggen waarvan AB een koorde is die 120 graden van de cirkel afsnijdt.

Ik heb een cirkel gekozen met straal 1, middelpunt op [0 0,5].
A=[-½√3 0], B=[½√3 0]
AB is in werkelijkheid 3,5 km, hier √3. De verhouding is de schaalfactor.
ACB=5,5 km. Dan numeriek de cirkel afgelopen (voor y>0) tot ik die afstand vond.

Tenslotte een tekeningetje op papier om te zien welke AC (4 of 1,5) tot een langere reistijd via lopen + bus leidt.

Berichten: 312

Re: gehuchten

Alternatief via de cosinusregel:
neem de afstanden in loopminuten, dan is:
c = AB = 70
a + b = BC + CA = 110 (want 11 busminuten = 110 loopminuten)
cosinusregel:
70² = (110-b)² + b² - 2(110-b)⋅b⋅cos(60°)
geeft b=30 of b=80.
b=30 vervalt, want samen met 80/10 = 8 busminuten is dit korter dan 70 minuten reistijd
Dus is b=80 loopminuten = 4 km

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.371

Re: gehuchten

RedCat schreef: za 18 sep 2021, 23:20 Alternatief via de cosinusregel:
Dat is veel sneller en eleganter.

Berichten: 312

Re: gehuchten

ukster schreef: za 18 sep 2021, 16:19 3. Vanuit A naar de weg lopen waarlangs B ligt en vandaar de bus naar B nemen. Dit duurt echter langer, zelfs als de bus onmiddellijk komt aanrijden.
Niet als de wandelaar van A naar D loopt en daar de bus pakt (zie onderstaand plaatje):
Als ∠BAD = 2.4740402°
dan is AD = 69.631062382 loopminuten,
en is DB = 3.03689376177 loopminuten, maar met de bus duurt dit slechts 0.303689376177 minuten.
Dit geeft een totale reistijd van 69.934751758 minuten, minder dan 70 minuten.
Dit vereist natuurlijk wel een extreem goede timing van de wandelaar en van de buschauffeur.

Afbeelding

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

transporttijd1.png
transporttijd1.png (15.65 KiB) 673 keer bekeken
transporttijd2.png
Het scheelt maar 17 sec

Gezien het gegeven in 3 kunnen we concluderen dat de afstand AC 4km moet zijn!

Berichten: 312

Re: gehuchten

Afbeelding
De kortste loopafstand levert hier niet de kortste reistijd.
Laat de wiskundige wandelaar zich vanuit punt A richten op een nog te bepalen punt W op de weg, ergens tussen B en D.
Definieer BW = d, dan is WD = 0.5 - d
(alle afstanden in kilometers).
De loopafstand AW is dan
\(AW=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (0.5-d)^2}\)
\(=\sqrt{d^2-d+12.25}\)
De totale reistijd t(d) als functie van d is dus gelijk aan
\(t(d)=20AW + 2BW = 20\sqrt{d^2-d+12.25} + 2d\)
Door de afgeleide van deze functie gelijk aan nul te stellen, kom ik uit op
\(d_{min} = \frac{33-4\sqrt{33}}{66} = 0.1518446880886... \; \text{km}\)
Hiermee wordt de minimale reistijd
t(dmin) = 69.93475175845634 minuten
ofwel 69 minuten en 56.0851 seconden.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

Interessant! Dat werpt een heel ander licht op de zaak.
rekening houdend met punt 3 is er dus helemaal geen oplossing voor deze opgave? of mag ik er dat niet uit afleiden..

Berichten: 312

Re: gehuchten

Alle voorwaarden t/m punt 2 leveren 2 mogelijke oplossingen (AC = 1.5 km of AC = 4 km), maar geen van deze 2 oplossingen vereist bij de route volgens voorwaarde 3 een reistijd die langer is dan 70 minuten.
Beide oplossingen vallen dus af.

Ik vermoed dat de opstellers van deze vraag niet gedacht hebben aan de snellere route AWB uit mijn vorige post.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

Ik denk dat je gelijk hebt..
Reuze bedankt :D

Gebruikersavatar
Berichten: 551

Re: gehuchten

Deze snap ik niet, als je AC loopt dat duurt toch langer dan 70 minuten
Het loopt al 70 minuten over 3,5 km, of zie ik iets niet goed ?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

Misschien zou punt 3 er redactioneel iets anders uit moeten zien zodat 1 oplossing overblijft of beide oplossingen afvallen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.589

Re: gehuchten

WillemB schreef: zo 19 sep 2021, 18:19 Deze snap ik niet, als je AC loopt dat duurt toch langer dan 70 minuten
Het loopt al 70 minuten over 3,5 km, of zie ik iets niet goed ?
Jawel, maar de reistijd van RedCat's traject is 4 sec minder dus voldoet daar niet aan
Beide oplossingen vallen dus af

Reageer