gehuchten
Moderator: Rhiannon
- Berichten: 4.542
gehuchten
Twee gehuchten A en B liggen aan twee rechte wegen welke elkaar snijden onder ∠ACB=60°.
Er zijn drie manieren om van A in B te komen.
1. De bus nemen van A via C naar B. Dit ritje duurt 11 minuten.
2. Lopend van A direct naar B neemt 70 min in beslag.
3. Vanuit A naar de weg lopen waarlangs B ligt en vandaar de bus naar B nemen. Dit duurt echter langer, zelfs als de bus onmiddellijk komt aanrijden. (snelheid bus 30km/h, snelheid wandelaar 3km/h)
Afstand AC ? (uiteraard door berekening!)
Er zijn drie manieren om van A in B te komen.
1. De bus nemen van A via C naar B. Dit ritje duurt 11 minuten.
2. Lopend van A direct naar B neemt 70 min in beslag.
3. Vanuit A naar de weg lopen waarlangs B ligt en vandaar de bus naar B nemen. Dit duurt echter langer, zelfs als de bus onmiddellijk komt aanrijden. (snelheid bus 30km/h, snelheid wandelaar 3km/h)
Afstand AC ? (uiteraard door berekening!)
- Berichten: 4.542
Re: gehuchten
Mooi, maar het neemt niet weg dat je bovenstaande nog even moet bewijzen..
- Moderator
- Berichten: 9.983
Re: gehuchten
Bewijs is een groot woord.
∠ACB=60° Dan moet C op een cirkel liggen waarvan AB een koorde is die 120 graden van de cirkel afsnijdt.
Ik heb een cirkel gekozen met straal 1, middelpunt op [0 0,5].
A=[-½√3 0], B=[½√3 0]
AB is in werkelijkheid 3,5 km, hier √3. De verhouding is de schaalfactor.
ACB=5,5 km. Dan numeriek de cirkel afgelopen (voor y>0) tot ik die afstand vond.
Tenslotte een tekeningetje op papier om te zien welke AC (4 of 1,5) tot een langere reistijd via lopen + bus leidt.
∠ACB=60° Dan moet C op een cirkel liggen waarvan AB een koorde is die 120 graden van de cirkel afsnijdt.
Ik heb een cirkel gekozen met straal 1, middelpunt op [0 0,5].
A=[-½√3 0], B=[½√3 0]
AB is in werkelijkheid 3,5 km, hier √3. De verhouding is de schaalfactor.
ACB=5,5 km. Dan numeriek de cirkel afgelopen (voor y>0) tot ik die afstand vond.
Tenslotte een tekeningetje op papier om te zien welke AC (4 of 1,5) tot een langere reistijd via lopen + bus leidt.
-
- Berichten: 463
Re: gehuchten
Alternatief via de cosinusregel:
neem de afstanden in loopminuten, dan is:
c = AB = 70
a + b = BC + CA = 110 (want 11 busminuten = 110 loopminuten)
cosinusregel:
70² = (110-b)² + b² - 2(110-b)⋅b⋅cos(60°)
geeft b=30 of b=80.
b=30 vervalt, want samen met 80/10 = 8 busminuten is dit korter dan 70 minuten reistijd
Dus is b=80 loopminuten = 4 km
neem de afstanden in loopminuten, dan is:
c = AB = 70
a + b = BC + CA = 110 (want 11 busminuten = 110 loopminuten)
cosinusregel:
70² = (110-b)² + b² - 2(110-b)⋅b⋅cos(60°)
geeft b=30 of b=80.
b=30 vervalt, want samen met 80/10 = 8 busminuten is dit korter dan 70 minuten reistijd
Dus is b=80 loopminuten = 4 km
- Moderator
- Berichten: 9.983
-
- Berichten: 463
Re: gehuchten
Niet als de wandelaar van A naar D loopt en daar de bus pakt (zie onderstaand plaatje):
Als ∠BAD = 2.4740402°
dan is AD = 69.631062382 loopminuten,
en is DB = 3.03689376177 loopminuten, maar met de bus duurt dit slechts 0.303689376177 minuten.
Dit geeft een totale reistijd van 69.934751758 minuten, minder dan 70 minuten.
Dit vereist natuurlijk wel een extreem goede timing van de wandelaar en van de buschauffeur.
- Berichten: 4.542
Re: gehuchten
Gezien het gegeven in 3 kunnen we concluderen dat de afstand AC 4km moet zijn!
-
- Berichten: 463
Re: gehuchten
De kortste loopafstand levert hier niet de kortste reistijd.
Laat de wiskundige wandelaar zich vanuit punt A richten op een nog te bepalen punt W op de weg, ergens tussen B en D.
Definieer BW = d, dan is WD = 0.5 - d
(alle afstanden in kilometers).
De loopafstand AW is dan
\(AW=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (0.5-d)^2}\)
\(=\sqrt{d^2-d+12.25}\)
De totale reistijd t(d) als functie van d is dus gelijk aan
\(t(d)=20AW + 2BW = 20\sqrt{d^2-d+12.25} + 2d\)
Door de afgeleide van deze functie gelijk aan nul te stellen, kom ik uit op
\(d_{min} = \frac{33-4\sqrt{33}}{66} = 0.1518446880886... \; \text{km}\)
Hiermee wordt de minimale reistijdt(dmin) = 69.93475175845634 minuten
ofwel 69 minuten en 56.0851 seconden.
- Berichten: 4.542
Re: gehuchten
Interessant! Dat werpt een heel ander licht op de zaak.
rekening houdend met punt 3 is er dus helemaal geen oplossing voor deze opgave? of mag ik er dat niet uit afleiden..
rekening houdend met punt 3 is er dus helemaal geen oplossing voor deze opgave? of mag ik er dat niet uit afleiden..
-
- Berichten: 463
Re: gehuchten
Alle voorwaarden t/m punt 2 leveren 2 mogelijke oplossingen (AC = 1.5 km of AC = 4 km), maar geen van deze 2 oplossingen vereist bij de route volgens voorwaarde 3 een reistijd die langer is dan 70 minuten.
Beide oplossingen vallen dus af.
Ik vermoed dat de opstellers van deze vraag niet gedacht hebben aan de snellere route AWB uit mijn vorige post.
Beide oplossingen vallen dus af.
Ik vermoed dat de opstellers van deze vraag niet gedacht hebben aan de snellere route AWB uit mijn vorige post.
- Berichten: 649
Re: gehuchten
Deze snap ik niet, als je AC loopt dat duurt toch langer dan 70 minuten
Het loopt al 70 minuten over 3,5 km, of zie ik iets niet goed ?
Het loopt al 70 minuten over 3,5 km, of zie ik iets niet goed ?
- Berichten: 4.542
Re: gehuchten
Misschien zou punt 3 er redactioneel iets anders uit moeten zien zodat 1 oplossing overblijft of beide oplossingen afvallen.
- Berichten: 4.542