Raadsel duur treinrit

Moderator: Rhiannon

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Raadsel duur treinrit

Stel dat er een transportsysteem is waarin elke hoofdstad op aarde verbonden is met elke andere hoofdstad door rechte tunnels door de aarde. De treinen glijden door de tunnels onder invloed van de zwaartekracht en zonder weerstand. De aarde wordt beschouwd als een homogene, niet-roterende bol. Hoe lang duurt het om van Amsterdam naar Washington te reizen? En van Amsterdam naar Brussel?
trein.png

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

Ruim 42 minuten, schat ik :D

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Raadsel duur treinrit

Xilvo schreef: ma 20 sep 2021, 18:49 Ruim 42 minuten, schat ik :D
Te gemakkelijk. Is een klassieker, maar wel een mooie vind ik.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

wnvl1 schreef: ma 20 sep 2021, 18:58
Xilvo schreef: ma 20 sep 2021, 18:49 Ruim 42 minuten, schat ik :D
Te gemakkelijk. Is een klassieker, maar wel een mooie vind ik.
Ik kende 'm niet maar bij het uitwerken bleek het veel makkelijker te zijn dan ik vooraf verwachtte.

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.428

Re: Raadsel duur treinrit

wnvl1 schreef: ma 20 sep 2021, 18:58
Xilvo schreef: ma 20 sep 2021, 18:49 Ruim 42 minuten, schat ik :D
Te gemakkelijk. Is een klassieker, maar wel een mooie vind ik.
Ja idd.

De reden dat het altijd 42 minuten is - voor degenen die zich dit mogelijk afvragen - is dat hoewel de tunnel korter is, de zwaartekracht langs het kortere pad ook afneemt in vergelijking met die van een tunnel die door het centrum van de planeet gaat, wat betekent dat je langzamer zou reizen. Doordat de afstand en de zwaartekrachtcomponent met dezelfde factor afnemen, wordt de reistijd gelijk.
Condemnant Quod Non Intellegunt

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

TommyWhite schreef: ma 20 sep 2021, 22:56 De reden dat het altijd 42 minuten is - voor degenen die zich dit mogelijk afvragen - is dat hoewel de tunnel korter is, de zwaartekracht langs het kortere pad ook afneemt in vergelijking met die van een tunnel die door het centrum van de planeet gaat, wat betekent dat je langzamer zou reizen. Doordat de afstand en de zwaartekrachtcomponent met dezelfde factor afnemen, wordt de reistijd gelijk.
Nee, dit klopt niet. De zwaartekrachtcomponent bij een zekere afstand tot het laagste punt van het traject is hetzelfde voor iedere tunnel.

De component van zwaartekrachtversnelling in de bewegingsrichting van de trein is (altijd, dat maakt het sommetje zo verrassend makkelijk) gelijk aan \(-g\frac{x}{R}\), met \(g\) de zwaartekrachtsversnelling aan het oppervlak van de aarde, \(R\) de straal van de aarde en \(x\) de afstand tot het laagste punt in de tunnel, waar de kracht uiteraard nul is.

Je krijgt dan de diff. vergelijking \(\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{R}x\), een harmonische slinger met \(\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}\).
Dat geeft een periodetijd van ruim 84 minuten, ongeacht de amplitude (afstand).

Ook als je de trein in het traject precies door het centrum van de aarde 10 km boven dat centrum loslaat, dan komt die 42 minuten aan op 10 km aan de andere kant van het centrum weer tot stilstand.

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.428

Re: Raadsel duur treinrit

Jawel. Dat klopt wel, het één sluit het ander niet uit (en is zo ook voor kinderen te begrijpen .. die hier waarschijnlijk niet veel aanwezig zijn, maar toch).
Maar je kunt idd ook gewoon wat op Wikipedia staat gebruiken .. "gravity train".

Bij een meer realistisch model, niet perfect homogeen, zal de val echter slechts ongeveer 38 minuten en 11 seconden zou duren, ongeveer 4 minuten sneller dus.

Ik denk echter niet dat we onze hoop moeten gaan vestigen op dergelijke transport ;)
Condemnant Quod Non Intellegunt

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

wnvl1 schreef: ma 20 sep 2021, 18:12 Hoe lang duurt het om van Amsterdam naar Washington te reizen? En van Amsterdam naar Brussel?
Met de dichtheid-verdeling als in de echte aarde zijn de reistijden naar Brussel en Washington resp. 42,3 en 41,5 minuten.

Gebruikersavatar
Berichten: 828

Re: Raadsel duur treinrit

Hierbij een samenvatting die ik ooit eens heb gemaakt met mogelijkheid de snelheid te berekenen op ieder moment van het traject en ook de verlopen tijd op ieder moment van het traject
Bijlagen
DSCN0005.JPG
DSCN0004.JPG
DSCN0003.JPG
DSCN0002.JPG
DSCN0001.JPG

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Raadsel duur treinrit

Xilvo schreef: di 21 sep 2021, 17:26
wnvl1 schreef: ma 20 sep 2021, 18:12 Hoe lang duurt het om van Amsterdam naar Washington te reizen? En van Amsterdam naar Brussel?
Met de dichtheid-verdeling als in de echte aarde zijn de reistijden naar Brussel en Washington resp. 42,3 en 41,5 minuten.
Je zou ook nog de coriolis versnelling in rekening kunnen brengen, maar dat zal maar heel weinig effect hebben.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

wnvl1 schreef: di 21 sep 2021, 18:39 Je zou ook nog de coriolis versnelling in rekening kunnen brengen, maar dat zal maar heel weinig effect hebben.
Staat die niet altijd loodrecht op de bewegingsrichting? Dan kan die hier geen invloed hebben.

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Raadsel duur treinrit

Xilvo schreef: di 21 sep 2021, 18:57
wnvl1 schreef: di 21 sep 2021, 18:39 Je zou ook nog de coriolis versnelling in rekening kunnen brengen, maar dat zal maar heel weinig effect hebben.
Staat die niet altijd loodrecht op de bewegingsrichting? Dan kan die hier geen invloed hebben.
Als de trein bvb parallel rijdt met de as tussen Noord en Zuidpool van de aarde dan wel (Amsterdam -> Zuid Afrika ofzo). Maar anders toch niet altijd denk ik. Bvb naar Washington is er wel een effect denk ik. Zoiezo is dat wel maar een minimaal effect. Maar ik moet het woord centripetale versnelling gebruiken, denk ik.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

Even voor de zekerheid opgezocht:
As the Coriolis force is proportional to a cross product of two vectors, it is perpendicular to both vectors, in this case the object's velocity and the frame's rotation vector.
[Wikipedia]

Gebruikersavatar
Berichten: 365

Re: Raadsel duur treinrit

\(\vec {a_{c}}=-2\vec {\omega } \times \vec {v_{r}}\)

De coriolis versnelling kan inderdaad geen effect hebben, want die staat loodrecht op de v. De centripetale component wel, denk ik.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.392

Re: Raadsel duur treinrit

wnvl1 schreef: di 21 sep 2021, 19:13 \(\vec {a_{c}}=-2\vec {\omega } \times \vec {v_{r}}\)

De coriolis versnelling kan inderdaad geen effect hebben, want die staat loodrecht op de v. De centripetale component wel, denk ik.
Die zal een (heel kleine) rol spelen. de (negatieve) bijdrage aan de valversnelling is bij de evenaar een driehonderdste g.

Reageer