Oefening met kat&muis

Moderator: Rhiannon

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Oefening met kat&muis

Een muis zit in een toren (straal R) in punt A. Een kat zit in het midden O.
kat&muis.png
kat&muis.png (19.44 KiB) 1304 keer bekeken
Opeens rent de muis met constante snelheid vm=2,1m/s langs de torenmuur en de kat achtervolgt hem in een Archimedesspiraal r= Rφ/π
Met welke constante snelheid vk moet de kat de muis achtervolgen om hem te vangen op het moment dat de muis zijn holletje H bereikt?

Gebruikersavatar
Berichten: 366

Re: kat&muis

$$\frac{\int_0^{\pi} (\frac{R \phi}{\pi})^2 + (\frac{R}{\pi})^2 d \phi}
{\frac{\pi R}{ v_m}} = v_k $$

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

Helaas, vk blijkt onafhankelijk van R.
ik vraag me af of de verhouding vm/vk misschien het 'gulden getal' zou kunnen zijn.
Het resultaat wat ik krijg ligt daar namelijk akelig dichtbij in de buurt.(verschilt na de 3e decimaal)

Gebruikersavatar
Berichten: 366

Re: kat&muis

Ik ben in de ingebrand een vierkantswortel vergeten te zetten.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

Wat is nu precies de uitkomst voor vk?

Gebruikersavatar
Berichten: 828

Re: kat&muis

ukster schreef: do 23 sep 2021, 09:31 Helaas, vk blijkt onafhankelijk van R.
ik vraag me af of de verhouding vm/vk misschien het 'gulden getal' zou kunnen zijn.
Het resultaat wat ik krijg ligt daar namelijk akelig dichtbij in de buurt.(verschilt na de 3e decimaal)
in het forum analyse en calcalus heb ik op 18/11/2019 ook eens een persuit curve voorgesteld en ook daar dook plotsna volledige uitwerking de gulden snede op. Ik heb toen de volledige uitwerking on line gezet. Het is zeker geen gemakkelijk onderwerp.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

Ja, dat weet ik nog!
dit vond ik op SE
archimedesspiraal.png
en omdat kat en muis een Archimedesspiraal betreft zou dat dus heel goed kunnen
ik zal mijn afleiding voor de snelheid van de kat nog posten

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

kat&muis.png
kat&muis.png (2.26 KiB) 1109 keer bekeken
kat&muis1.png
kat&muis1.png (9.35 KiB) 1109 keer bekeken
kat&muis2.png
kat&muis2.png (11.9 KiB) 1109 keer bekeken
het is het net niet !

Gebruikersavatar
Berichten: 828

Re: kat&muis

ik weet het niet maar ik denk dat de perfecte golden ration slechts naar voren komt wanneer kat en muis juist dezelfde afstand afleggen bij mijn uitwerking was het toch zo. Het was natuurlijk een totaal andere curve.

Gebruikersavatar
Berichten: 366

Re: kat&muis

$$\frac{\int_0^{\pi} \sqrt{(\frac{R \phi}{\pi})^2 + (\frac{R}{\pi})^2} d \phi}
{\frac{\pi R}{ v_m}} = \frac{\int_0^{\pi} \sqrt{\phi^2 + 1} d \phi}{\frac{\pi^2 }{ v_m}} = 0.619 v_m$$

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

Dat is juist!
toch verrassend dat het bijna de reciproke is van het gouden getal

Gebruikersavatar
Berichten: 828

Re: kat&muis

ukster schreef: do 23 sep 2021, 17:49 Dat is juist!
toch verrassend dat het bijna de reciproke is van het gouden getal
Komt in jouw redenering ergens de afgelegde weg tot uiting en indien ja is deze gelijk

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 6.395

Re: kat&muis

Twee vragen:
Bij dit soort achtervolgingsvraagstukken is de richting van de jager steeds richting prooi.
Levert dat een Archimedesspiraal op, of is hier die Archimedesspiraal gegeven en hoeft de jager nu eens niet steeds richting prooi te lopen?

Als het eerste het geval is, stel de jager is vlak bij de prooi. Hij moet dan in radiale richting een afstand naar de prooi afleggen en in tangentiele richting. Maar die prooi beweegt in tangentiele richting met snelheid vm.
De jager moet de prooi in tangentiele richting kunnen inhalen en ook nog een afstand in radiale richting afleggen. Ik zie niet hoe dat kan als vk < vm.

Maar misschien zie ik wat over het hoofd?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

ukster schreef: wo 22 sep 2021, 22:19
Opeens rent de muis met constante snelheid vm=2,1m/s langs de torenmuur en de kat achtervolgt hem in een Archimedesspiraal r= Rφ/π

Gebruikersavatar
Berichten: 3.593

Re: kat&muis

Rik Speybrouck schreef: do 23 sep 2021, 17:57
Komt in jouw redenering ergens de afgelegde weg tot uiting en indien ja is deze gelijk
Nee, maar daar is wel uit te komen toch?

Reageer