aantal rotaties

Moderator: Rhiannon

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

aantal rotaties

Een massa m glijdt in een horizontaal vlak, op een roterende wrijving- en massaloze staaf S zodanig, dat deze tegen een ruwe cirkelvormige wand (straal r) wordt gedrukt met wrijvingscoëfficiënt µ=0,05. De massa komt met snelheid vo in contact met de wand. Na hoeveel omwentelingen zal de snelheid terugvallen naar vo/10 ?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.260

Re: aantal rotaties

Ik denk dat een tekening nodig is om het probleem te begrijpen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: aantal rotaties

rotatie met wrijving.png
rotatie met wrijving.png (12.18 KiB) 792 keer bekeken

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.028

Re: aantal rotaties

Na 7,33 omwentelingen, schat ik :D

Ofwel \(20 \ln {10}=46,0517\) rad.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.028

Re: aantal rotaties

\(\frac{dv}{dt}=-\mu\frac{v^2}{r}\)

Met \(v=\omega r\)

\(\frac{d\omega}{dt}=-\mu \omega^2\)

\(\frac{d\omega}{\omega}=-\mu \omega dt\)

Met \(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)

\(\frac{d\omega}{\omega}=-\mu d\theta\)

\(\theta=-\frac{1}{\mu} \int_1^{0,1} \frac{1}{\omega} d\omega=-\frac{1}{\mu}\ln 0,1\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: aantal rotaties

Yepp, iets andere weg.. :)
S(t) volgt uit integratie van v(t) (verkregen door scheiden van variabelen)
t1 volgt uit de snelheidsvoorwaarde v0/10
aantal omwentelingen = s(t1)/2πr
1.png
1.png (7.93 KiB) 725 keer bekeken
2.png
2.png (6.68 KiB) 725 keer bekeken

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.028

Re: aantal rotaties

Zelfde resultaat, andere weg.
Zoals de vraagstelling al suggereerde en een numerieke benadering bevestigde (het eerste antwoord kwam daar vandaan, toen had ik het nog niet analytisch opgelost), is het aantal omwentelingen onafhankelijk van de beginsnelheid of de straal.

Dat betekent dat per afgelegde hoek \(d\theta\) de relatieve verandering van de hoeksnelheid \(\frac{d\omega}{\omega}\) steeds hetzelfde zou moeten zijn.

Daarom heb ik naar \(\frac{d\omega}{\omega}=-\mu d\theta\) toe gewerkt.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: aantal rotaties

:idea: Knap gevonden.. :idea:

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.028

Re: aantal rotaties

Het is een wat andere aanpak. Maar het plaatje waar wnvl1 om vroeg was geen overbodige luxe. Ik had eerst ook geen idee wat ik me erbij moest voorstellen :)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: aantal rotaties

Een duidelijke tekening zal de informatie in een tekst ondersteunen. De tekening moet dan wel precies dat vertellen wat er in de tekst staat.
tek.png
tek.png (4.63 KiB) 688 keer bekeken

Reageer