optimum

[ukster]

a=18m
b=12m
c=10m
g=10m/s²
Het projectiel gaat door punt P en Q
gevraagd:
. minimale aanvangssnelheid vo_min
. initiële elevatiehoek θ_i
. afstand L

optimum.png (7.23 KiB) 5737 keer bekeken

[ukster]

De vraag is natuurlijk wat het criterium voor minimale aanvangsnelheid is.

[Xilvo]

Het principe is niet moeilijk. Bepaal de vergelijking van een parabool die door punten p(0,18) en q(√80,10) gaat.
Bepaal het hoogste punt van die parabool. Daarmee weet je welke potentiele energie overwonnen moet worden door de verticale component van de beginsnelheid. Uit de richtingscoëfficiënt bij y=0 haal je dan de aanvangssnelheid.

Maar de formules worden wat vervelend. Is er een slimmigheidje waarmee het makkelijk op te lossen is?

[ukster]

Ja, de Focusvectormethode!

Focusvector.png (7.31 KiB) 5659 keer bekeken

Het bereik van het projectiel in de lucht is gelijk aan de projectie van de paraboolfocusvector PQ.
Als de focuslijn het hellend dak is, is de projectie maximaal (=optimale situatie) en wordt de maximale afstand afgelegd bij minimale aanvangssnelheid.
Er is een verband tussen snelheid en focuslijnlengte PQ waarmee de minimale aanvangssnelheid voor het optimale pad vanaf de grond links wordt gevonden.

[ukster]

Het principe is niet moeilijk. Bepaal de vergelijking van een parabool die door punten p(0,18) en q(√80,10) gaat.
Bepaal het hoogste punt van die parabool. Daarmee weet je welke potentiele energie overwonnen moet worden door de verticale component van de beginsnelheid. Uit de richtingscoëfficiënt bij y=0 haal je dan de aanvangssnelheid.

Maar de formules worden wat vervelend. Is er een slimmigheidje waarmee het makkelijk op te lossen is?

volgens mij moeten er minimaal drie punten gegeven zijn om de vergelijking van een parabool te vinden

[Xilvo]

volgens mij moeter er minimaal drie punten gegeven zijn om de vergelijking van een parabool te vinden

Dat klopt. Je krijgt dan een vergelijking met één nog onbepaalde variabele.
Als je x=0 kiest recht onder punt p dan krijg je:
\(y=ax^2-\frac{10 a+1}{\sqrt{1,25}}x+18\)
(N.B. \(a\) is hier niet de lengte van lijnstuk a in de tekening!)

Voor iedere waarde van \(a\) gaat de parabool door de twee punten p en Q.

[ukster]

Ik zie (nog) niet hoe hierin de eis van minimale aanvangssnelheid kan worden ingebracht.

[Xilvo]

Simpel. Je kunt de top van de parabool bepalen.
\(y_{max}=-20a+14-\frac{1}{5a}\)
Dan weet je welke verticale aanvangssnelheid nodig is
\(v_{y,0}=\sqrt{2g y_{max}}\)

Uit de richtingscoëfficiënt bij y=0 kun je dan de totale aanvangssnelheid halen.
Om de x-waarde voor y=0 te vinden moet je de abc formule toepassen. Niet moeilijk maar het werd een vervelende formule. Daar ben ik gestopt.
Heb je eenmaal de formule voor de aanvangssnelheid (waar die onbepaalde a nog steeds in voorkomt) dan moet je alleen nog het minimum bepalen.

[ukster]

De focusvectormethode lijkt eenvoudiger te werken.

1.png (19.42 KiB) 5376 keer bekeken

De truc zit ’m in het verband tussen de focuslijnlengte OF en de projectielsnelheid in het intersectiepunt van parabool en focuslijn OF

2.png (7.67 KiB) 5376 keer bekeken

Dit principe toegepast op het gegeven probleem!

3.png (31 KiB) 5376 keer bekeken

4.png (6.31 KiB) 5376 keer bekeken

5.png (5.8 KiB) 5376 keer bekeken

De initiele elevatiehoek θ_i en afstand L vinden we met de bekende bewegingsformules.

[Xilvo]

Numeriek opgelost met mijn methode. Dan kom ik ook op v_0,min van 20 m/s, bij een waarde voor a=0,15.

L=9,564704 en de initiële hoek 73,2213 graden.

[ukster]

Exacte oplossing:

exact.png (3.17 KiB) 5346 keer bekeken

[Xilvo]

Dat komt dan mooi overeen.