tijdstip

Moderator: Rhiannon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.239

tijdstip

Beetje flauw raadseltje misschien.. 8-)

Posities A,B en C op tijdstip t=0
ontmoeting.png
ontmoeting.png (7.34 KiB) 4545 keer bekeken
A,B en C bewegen eenparig met snelheid 18km/h
A beweegt altijd naar B
B beweegt altijd naar C
C beweegt altijd naar A
Op welk tijdstip ontmoeten ze elkaar?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.714

Re: tijdstip

Omwille van symmetrie moeten ze elkaar in het zwaartepunt ontmoeten. Is dat de truuk?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.239

Re: tijdstip

Dat is zeker waar ,maar niet de truuk :D

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.896

Re: tijdstip

De afstand tot het midden van de driehoek is \(195 \sqrt{\frac{1}{3}}=112,58\)
Als ze allemaal direct naar dat midden reizen met 5 m/s doe ze er 22,5 s over om elkaar te bereiken.
De onderlinge snelheid moet dan 195/22,5=8,66 m/s zijn.

Als ze elkaar achterna zitten blijven ze, weer wegens die symmetrie, een gelijkzijdige driehoek vormen.
De onderlinge snelheid zal wat lager zijn en met dezelfde factor zal de reistijd hoger worden.

Als ik het snel even bekijk zou die onderlinge snelheid \(5+5\sin{30}=7,5\ m/s\) zijn.
Dan zou het 26,0 s moeten duren.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.239

Re: tijdstip

tijdstip.png
tijdstip.png (20.95 KiB) 4269 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 638

Re: tijdstip

Volgens mij klopt je tekening niet, de tweede a,b, en c zouden steeds verder naar binnen moeten liggen,
en niet op de begin lijn van a,b, en c, volgens mij wordt het dan een gebogen weg naar het zwaartepunt toe.
Het zou dan geen lineair gebeuren zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.714

Re: tijdstip

Klopt, maar dat is wel lastig om te tekenen voor ukster. Zo is het wel duidelijk. Ik was aan het nadenken of het mogelijk is om de baan analytisch uit te rekenen. Maar je komt een stelsel van 6 differentiaalvergelijkingen uit van eerste orde die niet lineair zijn. Is dus lastig lijkt mij, tenzij je gaat voor een numerieke oplossing. Dat moet vlot kunnen.

Berichten: 3.271

Re: tijdstip

wnvl1 schreef: vr 24 mar 2023, 22:23 Klopt, maar dat is wel lastig om te tekenen voor ukster. Zo is het wel duidelijk. Ik was aan het nadenken of het mogelijk is om de baan analytisch uit te rekenen. Maar je komt een stelsel van 6 differentiaalvergelijkingen uit van eerste orde die niet lineair zijn.
toch wel leerzaam denk ik om de afleiding naar die differentiaalvergelijkingen eens te posten, al was het maar om de methode van aanpak te kunnen volgen.

Berichten: 3.271

Re: tijdstip

WillemB schreef: vr 24 mar 2023, 20:51 Volgens mij klopt je tekening niet, de tweede a,b, en c zouden steeds verder naar binnen moeten liggen,
en niet op de begin lijn van a,b, en c,
wat getekend is is een numerieke benadering door een stukje segment te extrapoleren en dan in het nieuwe punt de nieuwe richting te bepalen en dan weer te extrapoleren. als je dan de lengte van de stukjes naar 0 laat gaan dan benader je de exacte oplossing.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.714

Re: tijdstip

$$\frac {dx_A}{dt}= \frac {5(x_B - x_A)}{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$
$$\frac {dy_A}{dt}= \frac {5(y_B - y_A)}{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$

met beginvoorwaarde \(x_A(0) = 195/2\), ...

Je kan zo 6 vergelijkingen opstellen en 6 beginvoorwaarden. Een computer kan dat dan wel oplossen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.896

Re: tijdstip

Als je het zwaartepunt van de driehoek op de oorsprong legt kun je punt B vinden door punt A over 120 graden te roteren.
Je krijgt dan \(x_B=-\frac{1}{2}x_A-\frac{1}{2}\sqrt{3} y_A\) en \(y_B=-\frac{1}{2}y_A+\frac{1}{2}\sqrt{3} x_A\)
Dan heb je maar twee differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Berichten: 3.271

Re: tijdstip

ukster schreef: vr 24 mar 2023, 14:30tijdstip.png
Dus dan heb je helemaal geen differentiaal vergelijkingen nodig als je wat slim nadenkt.
de vraag is of je de positie als functie van de tijd ook uit kunt rekenen zonder gekoppelde differentiaal vergeljkingen. je hebt dan niet alleen de lengte van de zijden nodig als functie van de tijd, maar ook de hoek als functie van de tijd.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.714

Re: tijdstip

Je zou kunnen proberen met poolcoördinaten rond het zwaartepunt. Misschien kom je er dan zonder DV.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.896

Re: tijdstip

Voor de oorspronkelijke vraag heb je geen DV nodig.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.714

Re: tijdstip

Ik bedoel voor de baan te beschrijven.

Reageer