tijdstip

[ukster]

Beetje flauw raadseltje misschien..

Posities A,B en C op tijdstip t=0

ontmoeting.png (7.34 KiB) 6865 keer bekeken

A,B en C bewegen eenparig met snelheid 18km/h
A beweegt altijd naar B
B beweegt altijd naar C
C beweegt altijd naar A
Op welk tijdstip ontmoeten ze elkaar?

[wnvl1]

Omwille van symmetrie moeten ze elkaar in het zwaartepunt ontmoeten. Is dat de truuk?

[ukster]

Dat is zeker waar ,maar niet de truuk

[Xilvo]

De afstand tot het midden van de driehoek is \(195 \sqrt{\frac{1}{3}}=112,58\)
Als ze allemaal direct naar dat midden reizen met 5 m/s doe ze er 22,5 s over om elkaar te bereiken.
De onderlinge snelheid moet dan 195/22,5=8,66 m/s zijn.

Als ze elkaar achterna zitten blijven ze, weer wegens die symmetrie, een gelijkzijdige driehoek vormen.
De onderlinge snelheid zal wat lager zijn en met dezelfde factor zal de reistijd hoger worden.

Als ik het snel even bekijk zou die onderlinge snelheid \(5+5\sin{30}=7,5\ m/s\) zijn.
Dan zou het 26,0 s moeten duren.

[ukster]

tijdstip.png (20.95 KiB) 6589 keer bekeken

[WillemB]

Volgens mij klopt je tekening niet, de tweede a,b, en c zouden steeds verder naar binnen moeten liggen,
en niet op de begin lijn van a,b, en c, volgens mij wordt het dan een gebogen weg naar het zwaartepunt toe.
Het zou dan geen lineair gebeuren zijn.

[wnvl1]

Klopt, maar dat is wel lastig om te tekenen voor ukster. Zo is het wel duidelijk. Ik was aan het nadenken of het mogelijk is om de baan analytisch uit te rekenen. Maar je komt een stelsel van 6 differentiaalvergelijkingen uit van eerste orde die niet lineair zijn. Is dus lastig lijkt mij, tenzij je gaat voor een numerieke oplossing. Dat moet vlot kunnen.

[HansH]

Klopt, maar dat is wel lastig om te tekenen voor ukster. Zo is het wel duidelijk. Ik was aan het nadenken of het mogelijk is om de baan analytisch uit te rekenen. Maar je komt een stelsel van 6 differentiaalvergelijkingen uit van eerste orde die niet lineair zijn.

toch wel leerzaam denk ik om de afleiding naar die differentiaalvergelijkingen eens te posten, al was het maar om de methode van aanpak te kunnen volgen.

[HansH]

Volgens mij klopt je tekening niet, de tweede a,b, en c zouden steeds verder naar binnen moeten liggen,
en niet op de begin lijn van a,b, en c,

wat getekend is is een numerieke benadering door een stukje segment te extrapoleren en dan in het nieuwe punt de nieuwe richting te bepalen en dan weer te extrapoleren. als je dan de lengte van de stukjes naar 0 laat gaan dan benader je de exacte oplossing.

[wnvl1]

$$\frac {dx_A}{dt}= \frac {5(x_B - x_A)}{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$
$$\frac {dy_A}{dt}= \frac {5(y_B - y_A)}{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$

met beginvoorwaarde \(x_A(0) = 195/2\), ...

Je kan zo 6 vergelijkingen opstellen en 6 beginvoorwaarden. Een computer kan dat dan wel oplossen.

[Xilvo]

Als je het zwaartepunt van de driehoek op de oorsprong legt kun je punt B vinden door punt A over 120 graden te roteren.
Je krijgt dan \(x_B=-\frac{1}{2}x_A-\frac{1}{2}\sqrt{3} y_A\) en \(y_B=-\frac{1}{2}y_A+\frac{1}{2}\sqrt{3} x_A\)
Dan heb je maar twee differentiaalvergelijkingen op te lossen.

[HansH]

tijdstip.png

Dus dan heb je helemaal geen differentiaal vergelijkingen nodig als je wat slim nadenkt.
de vraag is of je de positie als functie van de tijd ook uit kunt rekenen zonder gekoppelde differentiaal vergeljkingen. je hebt dan niet alleen de lengte van de zijden nodig als functie van de tijd, maar ook de hoek als functie van de tijd.

[wnvl1]

Je zou kunnen proberen met poolcoördinaten rond het zwaartepunt. Misschien kom je er dan zonder DV.

[Xilvo]

Voor de oorspronkelijke vraag heb je geen DV nodig.

[wnvl1]

Ik bedoel voor de baan te beschrijven.