uitdrukking

[ukster]

Driehoek ABC
∠B=2∠C
Punt D ligt op BC zodat ∠C=2∠CAD
b en c zijn respectievelijk de lengtes van de zijden AC en AB

druk AD uit in b en c

[ukster]

zo moeilijk is het toch niet.
een paar grondformules ,sinusregel en enkele dubbele en driedubbele hoekformules.

AD.png (4.53 KiB) 2919 keer bekeken

1.png (10.33 KiB) 2919 keer bekeken

2.png (8.12 KiB) 2919 keer bekeken

3.png (11.36 KiB) 2919 keer bekeken

[wnvl1]

Als frequent beantwoorder van de raadsels, heb ik eerlijk gezegd niet gezocht deze keer.
Ik doe ook wel wiskunde raadsels, maar zuiver meetkundige raadsels, genieten minder mijn voorkeur.

[ukster]

ik vraag me dan altijd weer af: kan het nog veel slimmer en sneller!

[Xilvo]

Ik sluit me aan bij wat wnvl1 schrijft.
Er is niets mis met deze vraag, dit is dan ook geen kritiek, maar ook mij interesseert zo'n vraag minder.

Overigens heb ik twee vragen eerder wel beantwoord waar je nog geen reactie op heb gegeven, "raar" en "veer".

[RedCat]

Ik vind dit soort problemen wel erg leuk, maar ik ben dan weer niet dagelijks op dit forum.

Hier een alternatieve uitwerking:

ADh.png (5.29 KiB) 2526 keer bekeken

\(\small d=\frac{h}{\sin 3\theta} = \frac{h}{\sin \theta \cos 2\theta \;+\; \cos \theta \sin 2\theta}\)

Druk alle elementen van deze breuk in b en c uit, en we zijn er:

\(\small \frac{h}{b} = \sin 2\theta\)

\(\small \frac{h}{c} = \sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta = 2 \frac{h}{b} \cos 2\theta \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{b}{2c} \;\;(:= t)\)

\(\small \sin 2\theta = \frac{h}{b} = \sqrt{1-t^2} \Rightarrow h = b\sqrt{1-t^2}\)

en via de halveringsformules:

\(\small \sin \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{1-t} \)

\(\small \cos \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} \)

Nu alleen nog invullen en vereenvoudigen en we zijn klaar.

[efdee]

Mijn eerste reactie is om te beginnen met de stelling van Stewart
Maar die bevat geen hoeken. Daarom de sinusregel erbij.
Ik ga het niet uitwerken.

[ukster]

Ik vind dit soort problemen wel erg leuk, maar ik ben dan weer niet dagelijks op dit forum.

\(\small d=\frac{h}{\sin 3\theta} = \frac{h}{\sin \theta \cos 2\theta \;+\; \cos \theta \sin 2\theta}\)
foutje ?
sin(3θ)=3sin(θ)-4sin³(θ)
Nu alleen nog invullen en vereenvoudigen en we zijn klaar.

[RedCat]

sin(3θ)=3sin(θ)-4sin³(θ)

Maar ook:
\(\small \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

Neem hierin
\(\small \alpha = \theta\)
en
\(\small \beta = 2\theta\)

[ukster]

je hebt gelijk.
na invullen krijg ik:

d.png (1.2 KiB) 2258 keer bekeken

Maar dat is niet het juiste antwoord

[RedCat]

We hebben:

\(\small \cos 2\theta = \frac{b}{2c} \;\;(:= t)\)

\(\small \sin 2\theta = \sqrt{1-t^2}\)

\(\small h = b\sqrt{1-t^2}\)

\(\small \sin \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{1-t} \)

\(\small \cos \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} \)

\(\small d= \frac{h}{\sin \theta \cos 2\theta \;+\; \cos \theta \sin 2\theta}\)


en dat levert (stap voor stap uitgewerkt):

\(\small d = \frac{b\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{\frac{1}{2}} \;\cdot\; \sqrt{1-t} \;\cdot\; t \;+\; \sqrt{\frac{1}{2}} \;\cdot\; \sqrt{1+t} \;\cdot\; \sqrt{1-t^2}}\)

\(\small = \frac{b\sqrt{2} \;\cdot \;\sqrt{1-t^2}}{ \sqrt{1-t} \;\cdot\; t \;+\; \sqrt{1+t} \;\cdot\; \sqrt{1-t^2}}\)

deel teller en noemer door \(\small \sqrt{1-t}\) :

\(\small d = \frac{b\sqrt{2} \;\cdot \;\sqrt{1+t}}{ t \;+\; \sqrt{1+t} \;\cdot\; \sqrt{1+t}}\)

\(\small = \frac{b\sqrt{2} \;\cdot \;\sqrt{1+t}}{ t + 1+t}\)

\(\small = \frac{b\sqrt{2+2t}}{ 2t + 1}\)

\(\small = \frac{b\sqrt{2+\frac{b}{c}}}{ \frac{b}{c} + 1}\)

\(\small = \frac{bc\sqrt{2+\frac{b}{c}}}{ b + c}\)

\(\small = \frac{b}{b + c} \sqrt{2c^2+bc}\)

[ukster]

Oke, ergens bij het invullen ging er bij mij dus wat mis!