Voorstellen kromming van de ruimtetijd en zwaartekracht

[descheleschilder]

Ik schreef eerder dat de tijd in de Aarde overal even snel verloopt. Dit was van mijn kant een foute redenatie. De ruimte in een homogene bol is gekromd en dat geldt dus ook voor de tijd. Dus zal de tijd in de bol niet overal in hetzelfde tempo verlopen. Wel zijn er bolschillen waarop de tijd overal gelijk loopt. In het midden is de gravitatie nul, dus zal de tijd zijn maximale verloop bereiken.

[descheleschilder]

In het centrum van de Aarde is geen gravitatie aanwezig. De ruimte daar is vlak (de discontinuÏteit in die kromming maakt de zaken echter wel gecompliceerder, dus ik kan het fout hebben). Het centrum is ook niet in beweging, dus tijdsdilatatie kunnen we buiten beschouwing laten. Een vlakke ruimte betekent dat de ruimte niet gekromd is, dus ook de tijd niet, hetgeen betekent dat de tij een maximaal verloop kent, net als in een punt heel ver van de planeet. De tijd loopt in het centrum juist iets sneller (en is maximaal in zijn verloop) dan aan het oppervlak, omdat de gravitatie in het centrum nul is.

[DParlevliet]

Dus dat er een rivier van ruimte naar de aarde toe stroomt (zoals in de video).

 
Bedoel je de video "How Gravity Make Things Fall"? Ik zie daar niet iets stromen naar de aarde.

[descheleschilder]

Je kunt een vallende massa zo bekijken dat hij mee stroomt op de ruimte en een deel van de tijdsdimensie is omgezet in ruimtedimensie (de tijd gaat langzamer in een gravitatieveld en de ruimte is meer uitgerekt), hetgeen zich bij de horizon van een zwart gat maximaal manifesteert daar de ruimtedimensie (de radiale) en tijdsdimensie elkaars plaats innemen. Je zou het ook zo kunnen interpreteren dat er geen stroming van ruimte plaatsvindt, maar de massa naar beneden valt niet omdat hij de stroming van de ruimte volgt , maar een opwaartse (meestal de e.m. kracht) het oppervlak van de planeet omhoog duwt en de massa stilstaat, terwijl de oppervlakte op de massa afkomt. en een deel van de tijdsdimensie op het oppervlak verloren gaat.

[Michel Uphoff]

@DSS: De tijd loopt in het centrum juist iets sneller

 
Ook hier dan graag een onderbouwing voor, maar wat roepen is mij te makkelijk. Heb je de link van 317070 gelezen? Je weet dat de gravitationele tijddilatatie afhangt van het potentiaal en niet van het veld?

[descheleschilder]

De gravitatiepotentiaal is in het midden van de Aarde nul. Breng je een testdeeltje uit het oneindige naar het Aardoppervlak, dan is de potentiaal negatief, om daarna, als je het testdeeltje naar het centrum van de Aarde verplaatst, weer (lineair) naar nul te gaan, zoals de waarde ook in het oneindige was, met dat verschil dat de potentiaal vanuit het oneindige met 1/r (r is de afstand tot het centrum van de Aarde) afneemt bij nadering van de Aarde. Nu hangen de potentiaal en het gravitatieveld op eenvoudige wijze samen. Het gravitatieveld is min de gradiënt van de potentiaal, hetgeen betekent dat de tijdsdilatatie weldegelijk van het veld afhankelijk is. Dus als de potentiaal in het centrum van de Aarde nul is, dan is het gravitatieveld daar ook nul. En in een punt (of een gebiedje om dat punt waar de gravitatie, in dit geval lineair, nul nadert) waar geen gravitatie heerst heeft de tijd zijn maximale verloop (de eigenbeweging van de Aarde buiten beschouwing gelaten).

Of je nu de potentiaal gebruikt of het veld zelf, in beide gevallen loopt de tijd in het centrum van de Aarde iets sneller dan aan het oppervlak.

[Michel Uphoff]

De gravitatiepotentiaal is in het midden van de Aarde nul

 
Per conventie ligt de nulwaarde van het gravitatiepotentiaal van een massa in het oneindige, en in het centrum van een bolvormige homogene massa is ze het meest negatief. Je zou je niets van deze conventie aan kunnen trekken, en het potentiaal in het centrum op nul kunnen stellen. Dan ligt ze echter bij het oppervlak nog steeds hoger, en in het oneindige is ze nog steeds op haar hoogst. En het is het potentiaalverschil dat er toe doet, waar je de nul legt maakt dus niet uit.
 
Jouw opvatting: Het potentiaal bij oneindig is 0, bij het oppervlak is ze het sterkst (negatief), en in het centrum weer 0. Dit geldt voor het gravitatieveld, maar voor het potentiaal klopt dat natuurlijk niet. Het zou immers betekenen dat de reis vanuit het centrum van een massa naar het oppervlak energetisch exact overeen zou komen met de reis vanuit het oneindige naar dat oppervlak. In beide gevallen van nul naar dezelfde negatieve waarde. M.a.w. als dit zou kloppen daalt de potentiële energie vanaf het centrum van de Aarde naar het oppervlak; een object valt dan van het centrum omhoog, een idioot resultaat.
 
Je verwart nog steeds het veld en het potentiaal. Het is alleen het potentiaalverschil, dat de gravitationele tijddilatatie veroorzaakt.
 
Hier een voorstelling van het potentiaal (met wat aanvullingen van mij op het origineel uit Wikipedia). Daar waar de binnenzijde van bol naar hol overgaat (het inflectiepunt), is het oppervlak van de bijbehorende homogene bolvormige massa, ruwweg voorgesteld door de ingetekende cirkel. Merk het verschil op met het verloop van het gravitatieveld (rode lijn), dat ziet er buiten de bol (geïnverteerd) exact zo uit, maar in de bol gaat het veld lineair naar nul.
 

GravityPotential.jpg (61.3 KiB) 914 keer bekeken

 
Wat Googlen levert deze uitkomst

\({R_s\over 4R}\)

op, waarbij Rs de Schwarzschildstraal (8,865 mm) en R de straal van de Aarde is. klik
 

\(\Delta\Phi/c^2=3\times 10^{-10}\)

The sign of the effect is that clocks tick slower when they're deeper in the potential well. That is, a clock at the Earth's surface ticks 1.0000000003 times faster than one at the center.
...
This gravitational potential determines the slowing of time, too. In SI units, g(RE)= 10 Newtons per meter and RE = 6,378,000. The product, with the 3/2 factor added, is almost exactly 10⁸. Divide it by c²=10¹⁷ to get about 10⁻⁹ - the relative red shift from the center of the Earth to infinity.

 
De eerste berekening betreft het potentiaalverschil tussen centrum en oppervlak van de Aarde, en de tweede regel betreft het verschil tussen het centrum en een punt in het oneindige. Uitgaande van de eerste berekening kan geconstateerd worden dat een klok aan het oppervlak van een homogene Aarde gedurende de leeftijd van de Aarde zo'n (0,008865 m / 25.484.000 m) * 4,5 miljard jaar, dus ongeveer 1,57 jaar voorloopt op een denkbeeldige klok in het centrum.

[317070]

 
Bedoel je de video "How Gravity Make Things Fall"? Ik zie daar niet iets stromen naar de aarde.

Vanuit het perspectief van de appel, ging hij steeds rechtdoor door de ruimtetijd, hij hing stil in de ruimt. Maar de ruimte is gekromd in de ruimtetijd, waardoor hij eigenlijk naar beneden viel. Dat is wat in de video (erg goed) wordt uitgelegd, toch?
Wel, dat kun je dus equivalent zien als het naar de aarde stromen van die ruimte waarin de appel stil hing.

[descheleschilder]

Je hebt helemaal gelijk. Mijn fout was dat ik alleen een punt waarin geen gravitatie aanwezig is (maar rakend daar omheen wél) in beschouwing nam, waaruit ik afleidde dat wegens het ontbreken van gravitatie in dat punt de tijd het snelst gaat, hetgeen alleen geldt voor gebieden waar geen gravitatie aanwezig is (hoewel je jezelf kunt afvragen of de tijd binnen een bolschil massa een maximaal verloop kent: de potentiaal binnen de bol is constant, maar buiten de bol neemt die vanuit het oneindige af; misschien moet je bij gebieden waar geen gravitatie aanwezig is toevoegen dat de gebieden ver buiten elke massa liggen, hetgeen een uiterst onrealistische situatie is aangezien in het hele universum massa te vinden is, hetgeen een minieme invloed heeft op de potentiaal in die gebieden). Daar loopt de klok wél in maximaal tempo (althans bijna, volgens wat ik net schreef, maar ik denk dat dat onmeetbaar is). Bovendien maakte ik de fout door te denken dat de rode lijn in de bovenstaande tekening de potentiaal voorstelt, hetgeen inderdaad duidelijk niet zo is (de lijn stelt het veld voor) en de afgeleide van de potentiaal is in het centrum inderdaad nul.

[descheleschilder]

Maar de ruimte is gekromd in de ruimtetijd, waardoor hij eigenlijk naar beneden viel.

 
De kromming van de ruimte in de ruimtetijd doet de appel niet vallen, maar de kromming van de tijd. De appel beweegt immers langzaam, en in dat geval speelt de kromming van de ruimte vrijwel geen rol. De appel valt zodat de tijd tussen het loskomen van de boom en neerkomen op de grond maximaal is.

[DParlevliet]

Ik begrijp dat tijd afhankelijk is van snelheid en van massa (eigenlijk energie) in de buurt. Dus loopt de tijd in het midden van de aarde anders dan ver buiten de aarde.
Maar midden in de aarde zweef ik, dus daar is geen ruimtetijdkromming, net als ver buiten de aarde.
Klopt deze samenvatting?

[317070]

Ik begrijp dat tijd afhankelijk is van snelheid en van massa (eigenlijk energie) in de buurt. Dus loopt de tijd in het midden van de aarde anders dan ver buiten de aarde.
Maar midden in de aarde zweef ik, dus daar is geen ruimtetijdkromming, net als ver buiten de aarde.
Klopt deze samenvatting?

Niet echt. Stel dat de aarde een schil was van een kilometer dik, zodat er in het midden van de aarde nog steeds geen massa in de buurt was en de ruimtetijdkromming er nul is. Dan nog zou de tijd trager zijn in het midden van de aarde dan ver buiten de aarde.
 
Waarom? Omdat als je een willekeurig pad neemt van het punt buiten de aarde naar het midden van de aarde, dat op een gegeven moment langs dat pad de tijd wordt omgezet in ruimte om versnelling te veroorzaken. Ergens langs dat pad ga je sowieso versnelling voelen.
 
Om het verschil van verloop in tijd tussen 2 waarnemers te bepalen, moet je bepalen wat er gebeurt op het pad tussen de twee waarnemers. Dat is namelijk het pad waarlangs ze gaan moeten communiceren. Of langs waar ze moeten bewegen om bij elkaar te komen.

[DParlevliet]

Waarom? Omdat als je een willekeurig pad neemt van het punt buiten de aarde naar het midden van de aarde, dat op een gegeven moment langs dat pad de tijd wordt omgezet in ruimte om versnelling te veroorzaken. Ergens langs dat pad ga je sowieso versnelling voelen.

Ik begrijp het, en klinkt logisch.
Is het ook mogelijk om te zeggen dat de tijd van een deeltje afhankelijk is van zijn energie? Dat kan zijn massa, kinetische energie of potentiele energie (ten opzichte van andere massa's)? Die potentiele energie leek mij de kern van Uphoff's redenering.

[descheleschilder]

Voor een deeltje dat potentiële energie heeft t.g.v. de gravitatie zal de tijd langzamer verstrijken. Hoe lager die energie (zoals in de kern van de Aarde, hoe langzamer de tijd zal verstrijken. Potentiële energie als gevolg van verblijf in een potentiaal veroorzaakt door een van de drie basiskrachten (hoewel ik bij de zwakke energie betwijfel of dat een basiskracht is), zal dat geen invloed op de tij hebben. En voor een deeltje dat in absolute beweging is (waar bijna niemand het mee eens is, maar ik denk dat een deeltje dat door een basiskracht, voornamelijk de e.m. kracht, versneld is absoluut in beweging is, dus kinetische energie heeft de tijd ook langzamer verloopt. Niet relatief dus maar absoluut.

[descheleschilder]

@Michel Uphoff
Als ik de grootte van de kracht tegen de afstand r tot het middelpunt van de Aarde maak, zal de grootte vanuit het oneindige met 1/r²toenemen, vanaf het Aardoppervlak in een rechte lijn naar nul afnemen, vervolgens weer in een rechte lijn tot het Aardoppervlak toenemen en vervolgens weer als 1/r² afnemen.
De kracht is de gradiënt van de potentiaal, hetgeen betekent dat die verdeeld is in verschillende los van elkaar staande stukken. Toch is jouw tekening een continue functie. Is dat mogelijk door bij de verschillende stukken potentiaal door middel van een juiste integratieconstante aan elkaar te passen?
Als we de veldvector bekijken zal deze aan de ene kant van de Aarde tegengesteld zijn aan de vector aan de tegenoverliggende kant. Is er dan wel een tweedimensionale afbeelding van de kracht mogelijk? Vanaf het Aardoppervlak zal er een rechte lijn door het middelpunt lopen die doorloopt tot de andere kant van het oppervlak en daar negatief is. De potentiaal is het inproduct van de gradiënt vector en de veldvector. Hoe ziet die er dan uit?